高中数学2-3-2《数学归纳法》课件新人教B版选修讲义.ppt

２.３数学归纳法（２） 证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性: (1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(k?N* ，k?n0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。 注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0 (2)(归纳递推)是递推的依据　　　n＝k时命题成立．作为必用的条件，而n＝k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明 回顾 例:已知数列 计算 ,根据计算的结果,猜想 的表达式,并用数学归纳法进行证明. 例:是否存在常数a、b,使得等式: 对一切正整数n都成立,并证明你的结论. 点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立. 解:令n=1,2,并整理得 以下用数学归纳法证明: (2)假设当n=k时结论正确,即: 则当n=k+1时, 故当n=k+1时,结论也正确. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确. (1)当n=1时,由上面解法知结论正确. 例:比较 2n 与 n2 (n∈N*)的大小 注：先猜想，再证明 解：当n=1时，2n=2,n2=1, 2nn2 当n=2时，2n=4,n2=4, 2n=n2 当n=3时，2n=8,n2=9, 2nn2 当n=4时，2n=16,n2=16, 2n=n2 当n=5时，2n=32,n2=25, 2nn2 当n=6时，2n=64,n2=36, 2nn2 猜想当n≥5时，2nn2(证明略) 例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)=n(n-1)/2. 说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立. 注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: (1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, ---则: f(n)=n2. (2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.