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第四章习题及答案 4-1 系统的开环传递函数为 试证明点在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益和开环增益。 解 若点在根轨迹上，则点应满足相角条件，如图解4-1所示。 对于= -1+j，由相角条件 满足相角条件，因此= -1+j在根轨迹上。将代入幅值条件： 解出 ： =12 ，K= 4-2 已知开环零、极点如图4-2 所示，试绘制相应的根轨迹。 解 根轨如图解4-2所示： 4-3 单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ ⑵ ⑶ 解 ⑴ = 系统有三个开环极点：,= -2, = -5 实轴上的根轨迹： , 渐近线： 分离点： 解之得：，(舍去)。 与虚轴的交点：特征方程为 D(s)= 令 解得 与虚轴的交点（0，）。 根轨迹如图解4-3(a)所示。 ⑵ 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：, ② 渐近线： ③ 分离点： 用试探法可得 。根轨迹如图解4-3(b)所示。 ⑶ = 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：, ② 分离点： 解之得：d= -0.293,d= -1.707。根轨迹如图解4-3(c)所示。 4-4单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹。 ⑴ ⑵ 解 ⑴ 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： ② 分离点： 解之得： ③ 起始角： 由对称性得另一起始角为 –。 根轨迹如图解4-4(a)所示。 ⑵ 系统有三个开环极点和一个开环零点。 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： ② 起始角： 根轨迹如图解4-4(b)所示。 4-５ 系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹。 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 解 ⑴ 实轴上的根轨迹： 渐近线： ③分离点： 解之得：d= -2, d= -3.33。 ④与虚轴交点：D(s)=s3+8s2+20s+ 把s=j代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得： 解得： ⑤起始角：由相角条件 ，。 根轨迹如图解4-5(a)所示。 ⑵ ①　实轴上的根轨迹： ②　渐近线： ③　分离点： 解之得：d1= -4.06，d2= -0.399，d3= -1.54(舍去)； ④ 与虚轴交点： D(s)=s4+8s3+17s2+10s+K 令s=j，带入特征方程，令实部，虚部分别为零 解得： 根轨迹如图解4-5(b)所示。 ⑶ 系统有四个开环极点、一个开环零点。根轨迹绘制如下： ①　实轴上的根轨迹： ②　渐近线： ③　与虚轴交点：闭环特征方程为 D（s）=s(s+3)(s2+2s+2)+(s+2)=0 把s=j代入上方程，令 解得： ④起始角 根轨迹如图解4-5(c)所示。 ⑷ 系统根轨迹绘制如下： ①　实轴上的根轨迹： ②　渐近线： ③　分离点： 解得：d1= -2.26 , d2=0.49 , d3,4= -0.76(舍去) ④ 与虚轴交点：闭环特征方程为 D（s）=s(s-1)(s2+4s+16)+(s+1)=0 把s=j代入上方程，整理，令实虚部分别为零得： 解得： ⑤　起始角： 由对称性得，另一起始角为 ，根轨迹如图解4-5(d)所示。 4-６ 已知单位反馈系统的开环传递函数，要求： （1）确定产生纯虚根为的值和值； （2）概略绘出的闭环根轨迹图（要求确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。 解（1）闭环特征方程 有 =0 令实虚部分别等于零即： 把=1代入得： ， 。 （2）系统有五个开环极点： ， = -1 = -3.5 = -3+j2 = -3-j2 ①　实轴上的根轨迹： ②　渐近线： ③　分离点： 解得： d1= -0.45 , d2=-2.40 (舍去) ,d3,4= -3.25 (舍去) ④　与虚轴交点：闭环特征方程为 D（s）=s(s+1)(s+3.5)(s+3+j2)(s+3-j2)+=0 把s=j代入上方程，整理，令实虚部分别为零得： 解得： ，，（舍去） ⑤　起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为 由对称性得，另一起始角为 ，根轨迹如图解4-6所示。 4-７ 已知控制系统的开环传递函数为