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无锡润智图书有限公司制作 单元小结 谢谢! * 一、学习要求 1.理解向量的概念,平面向量的坐标表示及平面向量的内积; 2.会运用平面向量的坐标表示及平面向量的内积知识解决实际问题. 学法指导 (1)自主复习本单元知识. (2)整理向量相关概念,加法与减法的运算法则,数乘向量的几何意义,平面向量的坐标表示及平面向量的内积. 并会运用相关知识解决实际问题. 课堂探究 1.探究问题 【探究】向量知识,向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用,应引起足够的重视. 思考一下,向量学习主要有哪些数学思想? 答案:(1)数形结合的思想方法。由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份,所以在向量知识的整个学习过程中,都体现了数形结合的思想方法.(2)化归转化的思想方法。向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题;三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题;向量的数量积公式 ,沟通了向量与实数间的转化关系;一些实际问题也可以运用向量知识去解决.(3)分类讨论的思想方法。 如向量可分为共线向量与不共线向量;平行向量(共线向量)可分为同向向量和反向向量;向量a在b方向上的投影随着它们之间的夹角的不同,有正数、负数和零三种情形. 2.知识链接: (1)向量的概念 (2)向量的加法与减法 ① 加法:平行四边形法则:起点相同,对角线为和向量;三角形加法法则:首尾相连,记: ② 减法:三角形减法法则:起点相同的两个向量的差(箭头指向被减向量) 记: ③ 坐标表示:a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=(x1±x2,y1±y2) (3)实数与向量的积 ① 模的关系:|λa|=|λ||a|; ② 方向:λ>0,λa与a方向相同 λ<0,λa与a方向相反; ③ 当λ=0时,λa=0; ④ 坐标表示:a=(x1,y1),λa=(λx1,λy1) (4)向量的内积 ① a·b= |a||b|cosθ; ② 已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2 3.拓展提高 例1在△ABC中,D、F分别是BC、AC的中点,AE= AD, =a, =b, 用a,b分别表示向量 答案: 例2 已知|a|=4,|b|=5,a与b的夹角为60°,求|3a-b|. 例3 平面向量a=(3,-4),b=(2,x),c=(2,y),已知a∥b,a⊥c,求b,c及b与c的夹角. 答案: a=(3,-4),b=(2,x), a∥b ∴ b与c的夹角为90° 4.当堂训练 (1)已知向量 =(3,-2), =(-5,-1),则 等于( ) A.(8,1) B.(-8,1) C. D. (2)已知向量a=(3,-1),b=(-1,2),则-3a-2b的坐标是( ) A.(7,1) B.(-7,-1) C.(-7,1) D.(7,-1) (3)已知a=(-1,3),b=(x,-1),且a∥b,则x等于( ) A.3 B.-3 C. D. B C D (4)若a=(3,4),b=(5,12),则a与b的夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. (5)若|m|=4,|n|=6,m与n的夹角是135°,则m·n等于( ) A.12 B.12 C.-12 D.-12 A C *
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