高等教育出版常微分答案.pdfVIP

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2017-03-19 发布于湖北
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高等教育出版常微分答案.pdf

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习题1.2 dy 4. 给定一阶微分方程 2x ， dx (1). 求出它的通解； (2). 求通过点 1, 4 的特解； ( ) (3). 求出与直线y 2x =+3 相切的解； 1 (4). 求出满足条件 ydx 2 的解； ∫0 (5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。解：(1). 通解显然为y x 2 =+c ,c ∈ ； (2). 把x 1,y 4代入y x 2 =+c 得c 3 ，故通过点 1, 4 的特解为y x 2 =+3 ； ( ) ? 2 + (3). 因为所求直线与直线y 2x +3 相切，所以?y x c 只有唯一解，即 y 2x +3 ? x 2 +c 2x =+3 只有唯一实根，从而c 4 ，故与直线y 2x +3 相切的解是 y x 2 =+4 ； 1 1 (4). 把y x 2 =+c 代入 ydx 2 即得c 5 3 ，故满足条件 ydx 2 的解是 ∫0 ∫0 y x 2 =+5 3 ； (5). 图形如下： 7 6 5 2 y=x +4 4 2 y=x +3 3 2 2 y=x +5/3 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 5. 求下列两个微分方程的公共解： y ′ y 2 =+2x ?x 4 , y ′ 2x =+x 2 +x 4 ?y ?y 2 解：由y 2 +2x ?x 4 2x =+x 2 +x 4 ?y ?y 2 可得 (y ?x 2 )(2x 2 +2y +1) 0 所以y x 2 或y =?x 2 ?1 2 ，y x 2 代入原微分方程满足，而y =?x 2 ?1 2 代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。 ′ ′2 6. 求微分方程y +xy ?y 0 的直线积分曲线。解：设所求直线积分曲线是y kx =+b ，则将其代入原微分方程可得