《管理运筹学》12-管理博弈.pptVIP

一、二人有限非零和博弈 定义12-5 设G={S1，S2，A，B}为双矩阵博弈， X*?S1*，Y*?S2* 。对于任意给定的X?S1*和Y? S2* ，有 则称(X*，Y*)为双矩阵博弈G的均衡局势，也称为双矩阵博弈G的均衡解。 一、二人有限非零和博弈 例12-16 试分析例12-3囚徒困境的均衡解。 解 假定嫌疑犯A选择坦白的话，B最好是选择坦白，因为B坦白判5年而不坦白却要判10年；假定嫌疑犯A选择不坦白的话，B最好也是选择坦白，因为B坦白不被判刑而不坦白却要判1年。也就是说，不论A选择是坦白还是不坦白，B的最佳选择都是坦白。同样的，不管B是选择坦白还是不坦白，A的最佳选择也是坦白。 一、二人有限非零和博弈 因此，两个人的最佳选择都是坦白。在（坦白，坦白）这个组合中，A和B都不能通过单方面改变行动以增加自己的收益，于是谁也没有动力游离这个组合，因此这个组合便是该博弈的均衡解，也称为纳什均衡。 一、二人有限非零和博弈 任何博弈都至少存在一个纳什均衡。这一点是由博弈论大师纳什于1950年提出的“纳什定理”揭示的。 定理12-9（纳什定理） 在一个有n个博弈方的非合作博弈中，如果n是有限的，且每个博弈人的策略集合也是有限的，则该博弈至少存在一个纳什均衡，但可能包含混合策略。 一、二人有限非零和博弈 例12-17 供应商的囚徒困境 现假定有一家公司的采购人员，正在决定向两家供应商采购100万个零配件，每个零配件的单件生产成本是6元，市场价是每件10元。如果向两家分别订货50万件，则两家各得利润50×(10-6)=200万元，采购员需要花费的订货费用是1000万元。如果采购人员向供应商宣布，如果谁肯把单价降到8.5元，谁就可以得到100万件配件的全部订货。当然，如果两家都愿意以8.5元供货的话，则依然是各订50万件。试分析该博弈的均衡解。 一、二人有限非零和博弈 解 首先建立博弈模型，局中人为两家供应商，可选的策略则产品供货价格为8.5元和10元。按照8.5元的价格，订货100万件时供应商的利润为100×(8.5-6)=250万元，订货50万件时的利润为50×(8.5-6)=125万元。于是得到博弈矩阵如下所示。 供应商A的策略 供应商B的策略 8.5元 10元 8.5元 125，125 250，0 10元 0，250 200，200 表12-12 供应商的赢得表 该博弈的均衡解是(8.5元，8.5元)。订货费用是850万元，节省了150万元的采购费用。 二、二人无限非零和博弈 当两个局中人的策略集S1和S2中至少有一个为无限集时，该博弈就称为二人无限博弈。 当局中人的赢得之和为零时，称为二人无限零和博弈。若局中人的赢得之和不为零时，该博弈称为二人无限非零和博弈。 用Hi(αi ， βj)表示第i个局中人的赢得函数。 二、二人无限非零和博弈 定义12-6 对于二人无限非零和博弈，若存在αi*?S1 ，βj *?S2 ，使得对于任意的αi?S1 ，βj ?S2 ，有 则称(αi* ，βj *)为博弈在纯策略意义下的解， αi*和βj *分别称为局中人的最优纯策略。 二、二人无限非零和博弈 例12-18 在例12-5的产量竞争问题中，若a=8，b=1，c=2，试分析每一家企业应如何选择自己的产量，以实现自己的赢得最大？ 解 由于市场上只有两家厂商，各自的产量为q1和q2，两家厂商的赢得函数分别为 二、二人无限非零和博弈 对于每一家企业来说，选择产量qi使自己赢得最大，即 令 此时，产品的价格为8-4=4，两个厂商的赢得即利润均为2×2=4 ，市场上总的商品量Q=q1+q2=4，两厂商的 利润总和为4+4=8。 针对第一节给出的港口竞争问题进行求解。 首先，检查赢得矩阵A中不存在鞍点，因此该博弈不存在纯策略解。 第二步，检查赢得矩阵A中也不存在优超现象，由于当前赢得矩阵为3×3矩阵，因此采用线性规划法进行求解。 第三步，建立线性规划模型并求解。 为了便于求解，首先给赢得矩阵中的所有元素都加上最小负数的绝对值k=3，将赢得矩阵转化为 做变换xi’= xi/v， yi’=yi/w，建立线性规划模型如下所示： 采用Excel对模型进行求解得到： 则原博弈的解为： 原博弈的值为： 从求解结果可以看出，港口A应采取的最优混合策略为(3/5，1/5，1/5) ，可以保证最小赢得不低于1/5，港口B应采取的最优混合策略为(1/20，8/20，11/20) ，可以保证最大损失不超过1/5。正的博弈值表明，总体情况对港口企业A是有利的，但是若港口A公开自己的策略，则港口B可以灵活选择相应的策略，反而会赢得A的一些货物量。因此，竞争