数值分析第四章节矩阵特征值与特征向量的计算.pptVIP

第四章　特征值与特征向量的计算 上机作业 第121页第2题. * ? 幂法和反幂法 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 幂法 用于计算矩阵按模最大的特征值及其相应的特征向量, 特别适用于大型稀疏矩阵. §1　幂法和反幂法 反幂法 用于计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量, 也可用来计算对应于一个给定近似特征值的特征向量. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 设A为n阶实矩阵, 其特征值为?1, ?2, …, ?n, 相应的特征向量为u1, u2, …, un. 且满足条件 　 u1, u2, …, un线性无关. ? 幂法 ? 幂法: 求?1及其相应的特征向量. 此时?1一定是实数! ? ?1通常称为主特征值. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ? 幂法基本思想 ? 给定初始非零向量x(0), 由矩阵A构造一向量序列 ? 在一定条件下, 当k充分大时: ? 相应的特征向量为: Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 设t1不为零. ? x(k+1)为?1的特征向量的近似向量(除一个因子外). 对任意向量x(0), 有 ? 幂法的理论依据 ?故 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ? 如果x(0)的选取恰恰使得t1=0, 幂法仍能进行. 因为计算过程中会有舍入误差, 迭代若干次后, 必然会产生一个向量x(k), 它在u1方向上的分量不为零, 这样以后的计算就满足所设条件. ? 因为 计算过程中可能会出现上溢(|?1|1)或下溢成为0 (|?1|1). 为避免出现这一情形, 实际计算时每次迭代所求的向量都要归一化. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ? 归一化过程 设有一向量x?0, 将其归一化得到向量 其中max(x)表示向量x的绝对值最大的分量, 即如果有 例 x=(1, －8, 7)T, 则 max(x)=－8 , 归一化向量为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ? 幂法的计算公式 ? 任取初始向量x(0)=y(0)?0, 对k=1, 2, …, 构造向量序列 {x(k)}, {y(k)} ? 当k充分大时 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理 设n阶实矩阵A有n个线性无关的特征向量u1, u2, …, un, 主特征值?1满足| ?1 | |?2 | ? |?3 | ? … ? | ?n |, 则对任取非零初始向量x(0)=y(0)?0 (t1?0), 按下述方法构造向量序列 {x(k)}, {y(k)} 　 则有 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ? 幂法特别适用于求大