第一讲函数的基础概念和性质2.docVIP

第一讲 函数的基本性质 一、函数的概念和性质 （一）函数的概念 1.定义 若一变量随另一变量的变化而变化,那么是的函数,记为。表示随变化的规律，也就是的值与的值的对应法则。 2.函数的基本要素和派生要素（三要素）： 函数的定义域和对应法则是函数的两个基本要素,值域是派生要素 ①定义域 函数的定义域是自变量的取值范围，如的定义域是. ②对应法则 的值随变化的规律，如的对应法则是值是的2倍. 只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关.如与是同一函数。 ③值域: 与自变量的取值范围相对应的值的集合，如的值域是 （二）函数的表示法 1.解析法 用等式来表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做函数的解析法，如 2.列表法 用数值表来表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做函数的列表法，如用列表法表示如左表： … -1 -1 0 1 2 … … -4 -2 0 2 4 … 3.图像法 用图像来表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做函数的图像法.满足函数的所有点的集合.函数的图像=如用图像法表示如左图： （三）函数的性质 1.单调性 对任意,如果 时，有,则称函数是区间上的单调增加函数,简称增函数； 时，有,则称函数是区间上的单调减少函数，简称减函数。 单调增加函数和单调减少函数统称单调函数，若函数是区间上的单调函数，则称区间为单调区间. 用集合表示为， 增函数的图像是自左至右上升的曲线; 减函数的图像是自左至右是下降的曲线 例 判断下列函数的单调性 (1) (2) 解 (1) 当时，有,是增函数； (2) 当时，有,减函数。 2.奇偶性 设函数的定义域为且关于原点对称 若对任意,满足则称是上的偶函数。偶函数的图形关于轴对称。 若对任意,满足则称是上的奇函数。奇函数的图形关于原点对称。 有的函数既不是奇函数也不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数。 例 指出下列函数哪个奇函数,哪个偶函数. (1)（） (2) （） (3) （） 解 (1) 是奇函数. (2) 是非奇非偶函数. (3) 是偶函数 二、正比例函数、一次函数和反比例函数 （一）正比例函数 1.定义 函数叫做正比例函数. 2.定义域与值域 都是实数集R. 3.图像 图像见左图. 4.单调性 当单调增；单调减. 5.奇偶性 是奇函数. （二）一次函数 1.定义 函数叫做一次函数,其中与是常数且.若,函数是正比例函数. 2.定义域与值域 都是实数集R 3.图像 见下图 4.单调性 当单调增；单调减. 5.奇偶性 非奇非偶. （三）反比例函数 1.定义 函数叫做反比例函数（将坐标轴逆旋，则为，为等轴双曲线）. 2.定义域与值域 定义域：；值域：. 3.图像 见图. 4.单调性 当单调减；单调增. 5.奇偶性 奇函数. 四、二次函数 1.定义 函数叫做二次函数，其中. 2.定义域与值域 定义域：实数集R；值域： 3.图像 的图像列表如下 在时 顶点坐标和对称轴 (有两相异实数根) 顶点坐标 对称轴方程 (有两相等实数根) （没有实数根） 4.性质 单调性、最大值与最小值、奇偶性、对称性见下表 （，） （，） （，） （，） 开口方向 向 上 向 上 单调性 在区间 上单调减； 在区间 上单调增. 在区间 上单调减； 在区间 上单调增。 在区间 上单调增； 在区间 上单调减. 在区间 上单调增； 在区间 上单调减. 最大值 无 无 最小值 0 无 无 奇偶性 非奇非偶 偶函数 非奇非偶 偶函数 对称性 关于对称 关于轴对称 关于对称 关于轴对称 5.与的图像的关系 与的图像形状相同而所处位置不同，故可通过移动的图像获得的图像. 因的顶点坐标是,而的顶点坐标是，故将的图像平移和纵移即可得到的图像. 例题解析 例1 求的定义域 例2 已知是偶函数,化简该式并求其最大值或最小值 例3 求的对称轴、最小值、定义域、值域. 练习 1、在映射中，下列说法是否正确： ①A中每一个元素在B中都有象（ ）；②A中可以存在第一元素在B中没有象（ ）； ③A中允许某一个元素有两个象（ ）；④B中每一个元素在A中都有原象（ ）； ⑤B中允许某些元素没有原象（ ）；⑥B中某一元素在A中可能有多个原象（ ）。 2、函数的表示方法有_____________________。 3、用区间表示下列函数的定义域：