空间直线位置关系直线与平面位置关系.docVIP

空间直线的位置关系，直线与平面的位置关系 一、位置关系： 1、空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不在任何一个平面内，没有公共点 异面直线的画法： 2、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内（） —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交（） —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行（） —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用来表示 二、定理 1、公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设、b、c是三条直线 2、 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 3、异面直线的判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线。 4、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： 5、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行，则线线平行。 符号表示： 三、概念 1、异面直线所成的角：过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角。角的范围是θ∈（0°,90°] 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段。两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离。 定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。 　　定理二：两条异面直线的公垂线段长（异面直线的距离）是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。，，则，的位置关系是（ D ）． A．异面直线 B．相交直线 C．平行直线 D．相交直线或异面直线 例2　、、是三条直线，若与异面，与异面，判断与的位置关系，并画图说明． 解：直线与的位置关系有以下三种情形如图： 例3 已知是两条异面直线，直线上的两点的距离为6，直线上的两点的距离为8，的中点分别为且，求异面直线所成的角． 分析：解题的关键在于依据异面直线所成角的定义构造成和异面直线平行的两条相交直线，然后把它们归纳到某一三角形中求解． 解：如图，连结，并取的中点，连结， ∵分别是和的中位线， ∴，，即 ，． ∴所成的锐角或直角是异面直线所成的角． 又∵ ，， ∴，． 在中，又∵， ∴， ∴． 故异面直线所成的角是． 例4 已知四面体的所有棱长均为．求： （1）作出异面直线的公垂线段EF并求的长； （2）异面直线和所成的角． 分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解． 解：（1）如图，分别取的中点，连结． 由已知，得≌． ∴，是的中点， ∴． 同理可证 ∴是的公垂线段． 在中，，． ∴ ． （2）取的中点，连结，则． ∴和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角． 连结，在中，，，． 因为，EG=GF,∴． 故异面直线和所成的角为． 例5　已知空间四边形，，是的边上的高，是的边上的中线，求证：和是异面直线． 证法一：（定理法）如图 由题设条件可知点、不重合，设所在平面． ∴和是异面直线． 证法二：（反证法） 若和不是异面直线，则和共面，设过、的平面为． (1)若、重合，则是的中点，这与题设相矛盾． (2)若、不重合， ∵，，，∴． ∵，， ∴、、、四点共面，这与题设是空间四边形相矛盾． 综上，假设不成立． 故和是异面直线． 例6　分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（　D　）． A．一定平行　　　　　　B．一定相交 C．一定异面　　　　　　D．相交或异面 解：如图中的甲图，分别与异面直线、平行的两条直线、是相交关系； 如图中的乙图，分别与异面直线、平行的两条直线、是相交关系． 综上，可知应选D． 例7 简述下列问题的结论，并画图说明： （1）直线平面，直线，则和的位置关系如何？ （2）直线，直线，则直线和的位置关系如何？ 分析：（1）由图（1）可知：或； （2）由图（2）可知：或． 例8 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面． 已知：直线，平面，． 求证：． 证明：如图所示，过及平面内一点作平面． 设， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵，， ∴． 例9　如图，求证：