高等数学Ⅱ第三章习题课.ppt.ppt

习题课 一、 微分中值定理及其应用 2. 微分中值定理的主要应用 3. 有关中值问题的解题方法 例1. 设 例2. 设实数 二、 导数应用 例3. 填空题 (2) 设函数 例4. 证明 例5. 求 例6. 求曲线 三、多元函数微分法的应用 例7. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者. 1. 证明方程 * 目录 上页 下页 返回 结束 三、 多元函数极值 一、 微分中值定理及其应用 函数微分学的应用 第三章 二、 导数应用 拉格朗日中值定理 1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 柯西中值定理 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: 证明含一个中值的等式或根的存在 , (2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 , (3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 可用原函数法找辅助函数 . 多用罗尔定理, 可考虑用柯 西中值定理 . 必须多次应用 中值定理 . 在 内可导, 且 证明至少存在一点 使 上连续, 在 证: 问题转化为证 设辅助函数 显然 在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至 使 即有 少存在一点 满足下述等式 证明方程 在 ( 0 , 1) 内至少有一 个实根 . 证: 令 则可设 且 由罗尔定理知存在一点 使 即 1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 2. 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题 3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ; 证明不等式 ; 研究方程实根等. 的连续性及导函数 (1) 设函数 其导数图形如图所示, 单调减区间为 ; 极小值点为 ; 极大值点为 . 提示: 的正负作 f (x) 的示意图. 单调增区间为 ; . 在区间 上是凸弧 ; 拐点为 提示: 的正负作 f (x) 的示意图. 形在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图 的图形如图所示, 证: 设 , 则 故 时, 单调增加 , 从而 即 思考: 证明 时, 如何设辅助 函数更好 ? 提示: 解: 原式 洛 的渐近线. 解: 所以有铅直渐近线 及 又因 为曲线的斜渐近线 . 极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) 求解最值问题 注 解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x, y, z, 它们所对应的三个三角形面积分别为 设拉氏函数 解方程组 , 得 故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 注 则 课堂练习 正实根 . 1. 证明方程 有且仅有一个小于1 的 2.函数 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理 条件, 则中值 3. 求 4. 求曲线 的凹区间和 凸区间 及拐点. 5. 设 在 上 存在 , 且单调 递减 , 有 证明对一切 6. 曲线 (A) 没有渐近线； (B) 仅有水平渐近线； (C) 仅有铅直渐近线； (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线. 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真! 设 课堂练习答案 * 目录 上页 下页 返回 结束 * * * *