第二部分射影几何.doc

第二部分　射影几何 一　仿射变换 1几何变换的概念 仿射对应 ①平行射影 过上点，，，…，作与平行的直线，交与，，，…，这样得到与上点之间的一一对应，称为从到的平行射影，或透视射影。上的点称为原象点，上的点称为象点，是平行射影的方向，记这个平行射影为，则写…。 注意：显然平行射影与方向有关，方向变了，就得出另外的透视仿射。 ②仿射对应 　　　设，…，是平面内条直线，，…，分别是到，到，…，到的平行射影，这些平行射影的复合，即： …： 是到的一个一一对应，称这个一一对应为直线到的仿射对应。 (2) 空间内的仿射对应 ①平行射影 设与是两个平面，是与的交线，直线不与平行，也不与平行，过上每点做平行于的直线，交于一个对应点，这样得到从到的一一对应关系，称为从到的平行射影 设到的交线为，的点都是自对应点，都是平行射影下的不动点，称为二重点，直线叫对应轴。 ②仿射对应 设，…，是空间中的个平面，，…，分别是到，到，…，到的平行射影，这些平行射影的复合，即： …： 是到的一个一一对应，称这个一一对应为平面到的仿射对应。特别地，当＝时，称为仿射变换。 2 仿射不变性和不变量 (1) 基本概念 ①　仿射不变性质和不变量：经过平行射影不改变的性质和数量，称为仿射不变性质和仿射不变量。 ②　直线上三点的简比：设，，是有向直线上的三点，有向线段的数量之比，称为这三点的简比，记作 (2) 仿射不变性质和不变量 ①　二直线间的平行性是仿射不变性质。 ②　共线三点的简比是仿射不变量； ③　两条平行线段的比是仿射不变量； ④　直线上两条线段的比是仿射不变量； ⑤　在仿射对应下，任何一对对应三角形面积之比是仿射不变量。 3仿射变换的解析表达式及其求法 (1) 在不同一个坐标系下的仿射变换表达式 在平面上取一个仿射坐标系，设是一个仿射变换， ，，，。 为任意一点，，则可以作为的一个新的仿射坐标系，若点在下的坐标为，则在仿射坐标系中的坐标与中一样，也是。 在同一个坐标系下的仿射变换表达式 设在中的坐标为，，，在中的坐标分别为，及。则有： ， 。 4 仿射变换的特例 平移变换 旋转变换 　设的极坐标为，的极坐标为，则坐标之间的关系为： ， 反射变换 位似变换 设对应于，且有：，则有： 二　射影平面 1　中心投影与无穷元素 中心投影 ①　直线间的中心投影 设与是同一平面两条不同的直线，是此平面内不在与上的一点，设是上任意一点，连结交于，点称为点从投影到上的中心投影，称为投影线，称为投影中心。 若与相交于，那么中心投影下，是自对应点，称为中心投影下的二重点。 在平面内的两直线的中心投影中，上有点，连结与平行，因此，与没有交点，在上没中心投影，称为影消点。同样，在上民有一个影消点。 中心投影不是一一对应。 ②　平面间的中心投影 设与是两个不同平面，在这个平面之外选取一点，对上任意一点，连结交于点， 点称为点在内的中心投影，称为投影线，称为投影中心。 类似的，平面之间的中心投影中，过点做平行于的平面，与有一条交线，则这条交线上的点在中都没有投影点，称之为上的影消线。 (2) 无穷元素 无穷远点：对任意一组平行直线引入一个新点，这个点就是这组平行线的交点，叫无穷远点，记为。 有穷远点：平面内原有的点叫有穷远点。 无穷远直线：平面上由所有无穷点的轨迹叫无穷远直线，记。 有穷远直线：平面内原有的直线叫有穷远直线。 仿射直线：在欧氏几何中添加了无穷远点之后，得到的新直线，叫仿射直线。 射影直线：若将直线上的有穷远点和无穷远点不加区别，等同看待，则这条仿射直线叫射影直线。 仿射平面：平面上添加一条无穷远直线，得到的新平面叫仿射平面。 射影平面：若对仿射平面上无穷远元素与有穷远元素同等对待，不加区别，则称这个平面为射影平面。 2　图形的射影性质 (1)　透视对应 在引进无穷远元素之后，可以把直线上的影消点与另一直线上的无穷远点建立点的对应。通过中心投影，把上的影消点投影到上无穷远点，把上无穷远点投影到上影消点。于是中心投影建立了直线之间的一一对应，称这个中心投影为透视对应。 (2)　中心透视 中心投影把上影消线投影到上无穷远直线，同时把上无穷直线投影到上影消线。于是中心投影建立了平面之间的一一对应，称为平面与之间的中心透视。 3　笛沙格定理 （1）三点形和三线形 平面上不共线的三点与其中每两点的连线所组成的图形，称为三点形； 平面内不共点的三条直线与其中每两条直线的交点所组成的图形称为三线形。 （2）沙格定理 　如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一条直线上。 　其逆命题也是真命题。 齐次坐标 点的齐次坐标 一维齐次坐标：设欧氏直线上的有穷远点的笛氏坐标为，则满足的数对叫做点的齐次坐标，记为。若，