第六章滤波解说.ppt

为什么维纳滤波器比一般线性滤波器性能更好？ 维纳滤波器的应用 例2.1 解： 由题知信号的自相关与噪声的自相关为: 代入维纳－霍夫方程得: 求出: h(0)=0.451，h(1)=0.165 最小均方误差为： 若要进一步减小误差可适当增加滤波器阶数，但计算量会增大。因此，用有限FIR滤波器实现最小方差准则得维纳滤波器并不是有效的方法。 * 是测量引入的白噪声，通过各　　的值估计　　。这类最优估计问题称为卡尔曼滤波。 　　例如：对一个一阶AR模型 　，的输出状态　　进行估计。 　　观测方程是 2.5 卡尔曼(Kalman)滤波 在信号处理，通信和现代控制系统中，需要对一个随机动态系统的状态进行估计，由一个测量装置对系统状态进行测量，通过记录的测量值对状态进行最优估计。 　　卡尔曼滤波用前一个状态的估计值和最近一个观测数据来估计状态变量的当前值。 * 卡尔曼滤波的特点： （1）算法是递推的，时域内设计滤波器，适用于多维随机过程的估计； （2）用递推法计算，不需要知道全部过去的值。用状态方程描述状态变量的动态变化规律，因此，信号可以是平稳的，也可以是非平稳的； （3）误差准则仍为均方误差最小准则。 * ：时间，指第　步迭代时，相应信号的取值 　　假设某系统　时刻的状态变量为 ，状态方程和量测方程（也称为输出方程），表示为 2.5.1卡尔曼滤波的状态方程和量测方程 ：第K步迭代时，状态变量与输出信号之间的增益　 ：白噪声 ：第　步迭代时，状态变量之间的增益矩阵，可　　　　　　　 以随时间变化（非平稳随机过程） 矩阵，可随时间变化 * 图　卡尔曼滤波器的信号模型 其中，　　状态变量， 表示输入信号，是白噪声 观测噪声， 观测数据 状态方程中　用　　代替　，得状态方程和量测方程 * 为推导简化，假设A不随时间变化， 都是均值为零的正态白噪声，方差分别为 和 。初始状态与 都不相关， 表示相关系数。即 其中　 * 　　基本思想：先不考虑输入信号 和观测噪声 的影响，得到状态变量和输出信号（即观测数据）的估计值，再用输出信号的估计误差加权后校正状态变量的估计值，使状态变量估计误差的均方值最小。卡尔曼滤波的关键是计算加权矩阵的最佳值。 当不考虑 和 时，状态方程和量测方程为 2.5.2卡尔曼滤波的递推算法 输出信号的误差 （由于不考虑噪声， 输出信号估计值与实际值有误差） * 为了提高状态变量的估计质量，用输出信号的估计误差 来校正状态变量的估计值。 其中， 　为增益矩阵，实质是一加权矩阵。 校正后的状态变量的估计误差用 表示，误差的均方值用 表示，未经校正的状态变量的估计误差的均方值用 表示 卡尔曼滤波的任务：选择合适的 ，使 取得最小值。 * 下边推导 和 ，计算 的均方值 ，化简 ，得到一组卡尔曼滤波的递推公式。 * 由三部分组成，可记为 其中 则状态变量的估计误差的均方值 由9项组成。 * 所以 仅依赖于 ， ， ， ， ，与 不相关 ，即 化简 增益A不随时间变化，初始状态 ，可递推得它的解　　。 * 所以 仅依赖于 ， ，而与 ， 不相关 ，即 又由于 与 互不相关 ，即 中的9项可分别化简为 * * 因此， 仅有三项不为零。 为进一步化简 ，推导 * 其中， 是正定阵，记 将 代入 表达式，得 令 * 第二项和第三项与 无关，第一项为一半正定阵，因此使 最小的 应满足 将 代入 ，得最小均方误差阵 * 联立各方程，得到一组卡尔曼滤波递推公式 　　假设初始条件　　　　　　　　　　已知，其中 ，递推流程如下 * * 结论： 卡尔曼滤波在稳态时与维纳滤波有相同的结果，这是因为它们都是以最小均方误差为准则的线性估计器。 卡尔曼滤波有一个过渡过程，其结果与维纳滤波不完全相同，但达到稳态后，结果相同。 第六章：随机信号滤波 滤波器基本概念 维纳滤波 卡尔曼滤波 自适应滤波 滤波器定义：一种系统，用于保留信号特定的频率分量，