4—2对称矩阵的对角化.pptVIP

定理1 (实)对称阵的特征值为实数. 定理2 设 l1, l2 是对称阵 A 的两个不同特征值, p1, p2 是 对应的特征向量, 则 p1 与 p2 正交. 证明 由 得 于是 因此 即 p1 与 p2 正交. §4.2 对称矩阵的相似对角化 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理3 设 A 为对称阵, 则必存在正交阵 P, 使 其中 L 为对角阵, 以 A 的特征值为对角元素. 用正交的相似变换矩阵化对称阵为对角阵的算法 (1) 求出 n 阶对称阵 A 的所有特征值 li . (2) 求 (li E-A) x = 0 的一个规范正交基础解系. (3) 将求出的 n 个规范正交特征向量排成一个正交阵 P, 则 P -1AP 为对角阵. 不妨设 则有 特别要注意的是, li 与 pi 的位置次序一定要相同. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例1 设 解 方阵 A 的特征值为 得基础解系 方阵 A 的特征多项式为 求一个正交阵 P, 使 P-1AP 为对角阵. 当 l1 = 2 时, 解方程组 单位化得 当 l2 = l3 = -1 时, 解方程组 得基础解系 规范正交化得 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例1 设 解 方阵 A 的特征值为 方阵 A 的特征多项式为 求一个正交阵 P, 使 P-1AP 为对角阵. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 取正交阵 例1 设 解 求一个正交阵 P, 使 P-1AP 为对角阵. 则有 方阵 A 的特征值为 方阵 A 的特征多项式为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 作 业 习题4.2: 1. 3. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理1 实对称阵的特征值为实数. 证明 设 a +b i 为对称阵 A 的任意一个特征值, 令 则 A1 仍为对称阵, 且有 两边乘以 得 因此, 存在非零向量 p, 使得 于是 由此可知 b = 0. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 证明 对于一阶对称阵, 定理显然成立. 假设对于 n-1 阶对称阵, 定理成立. 设 A 为 n 阶对称阵, l1 是对称阵 A 的特征值, p1 是对应 的单位特征向量. 取方程 正交基 的解空间的一个规范 令 则 H 为正交阵, 且有 于是 HTAH 可以表为分块形式 定理3 设 A 为对称阵, 则必存在正交阵 P, 使 其中 L 为对角阵, 以 A 的特征值为对角元素. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 证明 定理3 设 A 为对称阵, 则必存在正交阵 P, 使 其中 L 为对角阵, 以 A 的特征值为对角元素. 易