常用三角恒等变换技巧(师)讲解.docVIP

常用三角恒等变换技巧 三角函数问题，都通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。三角恒等变换的公式很多，主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、半角公式”、“化一公式”等，这些公式间一般都存在种差异，角的差异、函数名的差异和运算种类的差异，只有灵活有序地整合使用这些公式，消除差异、化异为同，才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点。从九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。 “角变换”技巧 角变换的基本思把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。 例1 已知，，求的值。 【分析】考虑到“已知角”是，而“未知角”是和，注意，可直接运用相关公式求出和。 【简解】因为，所以， 又因为，所以，， 从而，. 原式=. 【反思】，则在计算时，要注意符号的选取；（2）本题的一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出和但很繁琐，易出现计算错误本题，运用倍角公式求出。 例2 已知，其中，求证： 【分析】所给条件中出现的“已知角”是与，涉及的“未知角”是与，将三个角比较分析发现，，把“未知”转化为两个“已知”角和，然后用相关公式求解。 【简】 【反思】也可由已知直接求出与的关系，但与目标相差甚远，一是函数名称不同，二是角不同，所以较为困难善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，是有效进行角变换的前提。常用的角变换关系有： ，，，，等. “名变换”技巧 名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“切弦互化”，但实际上，诱导公式倍角公式平方关系能进行名变换。 例 已知向量，，的定义域和值域； 【分析】易知，这是一个“切弦共存”且“单、倍角共在”的式子，因此既要通过“切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数式更简明。 【简解】 由得，， 所以，.，值域是. 【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求解. 都是锐角，且，求的值。 【分析】已知条件中，等式的右边是分式，符合和差解的正切公式特征，可考虑“弦化切”，另一方面，若是“切化弦”，则很快出现待求式，与目标很近. 【简解1】显然时，， 因为都是锐角，所以， 所以，. 【简解2】由得，， 设，则 ， 所以，，，即. 【】“常数变换”技巧 在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善式子结构，运用相关公式求解，如 ，，等. 例 （1）求证: ；（2）化简：【分析】（1）运用和把分子、分母都变成齐次式后进行转化的形式，有利于系统研究函数的图象与性质. 【简解】（1）左边= . （2）原式= 【反思】“1”的变换应用是很多的，如万能置换公式的推导，实际上是利用了把整式化成分式后，又如例中，也是利用了，把分式变成了整式.“边角互化”技巧 解三角形时，边角交互呈现，例 在中，分别为角的对边，且 （1）求角的大小； （2）若，证明是等腰三角形. 【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身，看似复杂，但等式是关于三个角的正弦的齐次式，所以可用正弦定理把“角”化为边来求解。 （1）（角化边）由正弦定理得， ，整理得，， ，因为，所以. （2）（边化角）由正弦定理得， 即， 又，所以. 所以，是等腰三角形，，代入得， ，所以，， 所以，，是等腰三角形【反思】第（1）小题“化角为边”后，把已知条件转化为边的二次齐次式，符合余弦定理的结构，第（2）小题之所以“化边为角”，是因为不易把条件化为边的关系，而把条件转化为边的关系却很容易“升降幂”技巧 当所给条件出现根式时，常用升幂公式去根号，当所给条件出现正、余弦的平方时，常用“降幂”技巧，常见的公式有，，，可以看出，从左至右是“幂”，而从右至左则是“降”. 例 化简： 【分析】含有根号，升幂去根号. 【简解】原式= = 因为，所以，， 所以，原式.例 求函数，的最大值与最小值． 【分析】函数式中正弦的平方，降幂. 【简解】 ． 又，，即， ． 【反思】以上两例，“升降幂技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步骤，只有有效地整合各种技巧与方法才能顺利地解题。如例中用到了常数“变换技巧”，例中用到了“辅助角”技巧.“公式变用”技巧 几乎所有公式都能变形用或逆向用，，，等，实际上，“常数变换”技巧与“升降幂”技巧等也是一种公式变用或逆用技巧. ； （2）。 【】是特殊角外，其他角成倍角，于是考虑使用倍角公式；第（2）小题中两角差为，