代数与方程基本知识—李老师.docVIP

代数方程—复习 （本节准备的知识，主要针对8月底的摸底考试所准备） 本章知识结构图 1.总结代数方程的分类情况； 2.总结本章知识点之间的内在联系 这节课主要学习代数方程的解法，下节课主要学习列方程（组）解应用题。 整式方程的解法 1、一元一次方程和一元二次方程的解法 一元一次方程的解法同学们都很熟练了，我们主要回顾一下一元二次方程的解法。 例题 用适当的方法解下列方程： （1）（2x+1）2=25 （2） （3）3x2+8x-1=0 (4) x2-9x=0 解：（1）两边直接开平方，得 2x+1=±5 ∴2x+1=5或2x+1=-5 即 x=2或x=-3 ∴原方程的解为x1=2，x2=-3 （2）在方程两边同除以2，得 移项，得 方程配方，得 即 利用直接开平方法，得 ∴原方程的解为， （3）， ∴原方程有实数解。 ∴， （4）方程左边因式分解，得 x(x-9)=0 ∴x1=0，x2=9 一元二次方程的解法主要有四种： （1）直接开平方法： 适用于（mx+n）2=h (h≥0)的一元二次方程。 （2）配方法： 适用于所有化为一般形式后的一元二次方程。但是，具有二次项系数为1，一次项系数为偶数特点的一元二次方程，用配方法解才较简便。 配方法是通过配方将一元二次方程化成（mx+n）2=h (h≥0)的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。 其基本步骤是： ①首先在方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1； ②把常数项移到等式的右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④方程左边写成完全平方式，右边化简为常数； ⑤利用直接开平方法解此方程 用配方法解一元二次方程要注意，当二次项系数不为1时，一定要化为1，然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方 （3）公式法： 适用于解一般形式的一元二次方程。利用公式可以解所有的一元二次方程。 注意：当b2-4ac≥0时，方程才有实数解；当b2-4ac＜0时，原方程无实数解。 （4）因式分解法： 适用于方程右边是0，左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。 2.含字母系数的整式方程的解法 例题 解下列关于x的方程 （1））； 当a=0时，方程※变成 0·x=6，这时不论x取什么值，等式0·x=6都不成立，因此方程无解。 所以，当a≠0时，原方程的根是；当a=0时，原方程无解。 （2）移项，得 bx2+x2=1+1 合并同类项，得（b+1） ※ 当b+1＞0时，由方程※解得 ； 当b+1＜0时，方程※中，这时方程没有实数根。 所以，当b+1＞0时，原方程的根是，； 当b+1＜0时，原方程没有实数根。 3.特殊的高次方程的解法 （1）二项方程的解法 二项方程的定义： 如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，那么这样的方程叫做二项方程。 关于x的一元n次二项方程的一般形式是 二项方程的解法及根的情况： 一般地，二项方程可变形为 可见，解一元n次二项方程，可以转化为求一个已知数的n次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。 二项方程的根的情况： 对于二项方程， 当n为奇数时，方程只有且只有一个实数根。 当n为偶数时，如果，那么方程有两个实数根，且这两个实数根互为相反数；如果，那么方程没有实数根。 例题 判断下列方程是不是二项方程，如果是二项方程，求出它的根。 （1）x3-64=0 （2）x4+x=0 （3）x5= -9 （4）x3+x=1 解：（1）、（3）是二项方程，（2）、（4）不是二项方程。 下面解方程（1）、（3）： （1）移项，得 x3=64 开方，得 即 x=4 （3）开方，得 即 （2）双二次方程的解法 双二次方程的定义： 只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程。 关于x的双二次方程的一般形式是 双二次方程的解法： 可以用“换元法”解形如的双二次方程。就是用y代替方程中的x2，同时用y2代替x4，将方程转化为关于y的一元二次方程 ay2+by+c=0 解这个关于y的一元二次方程即可。 通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。 例题 判断下列方程是不是双二次方程，如果是，求出它的根： （1）x