第十七群group.pptVIP

? Peking University 3-2 群是只具有一个运算的抽象代数结构，是数学中的重要概念之一。研究群的性质的理论称为群论，是抽象代数的重要组成。 群的概念最先被完整的提出，是十九世纪初Galois在解决代数学中关于高于五次的方程是否有代数解的研究中提出来的。 时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其应用中最基本的概念之一。它不仅渗透到数学的许多领域中，并在结晶学、理论物理、量子化学、自动机理论等方面都有重要的应用。 G,o是含有一个二元运算的代数系统，如果满足以下条件： 1)o是可结合的； 2)存在e是关于o运算的单位元； 3)任何x,x关于o运算的逆元x-1?G 则称G是一个群 anam=an+m 证：设n0,m?0,令n=-n1,n10 anam= a-n1am=a-1 a-1… a-1 aa…a = am-n1 m ?n1 (a-1)n1-m mn1 =am+n 消去律 ab= ac ?b=c, ba = ca ?b=c 说明：消去律也可以定义群 设G是有限半群，且不含零元.若G中成立消去律，则G是群. 证：设G={a1,a2,…,an}，任取ai?G， aiG ={aiaj |j=1,2,…,n} 由封闭性, aiG?G, 假设|aiG|n, 则存在j,k使得aiaj=aiak, 根据消去律，aj=ak, 矛盾. 所以aiG=G. 任取ai,aj, ai,aj?G ? aj?aiG ? 方程aix=aj有解 同理，方程yai=aj有解.G是群. 注：Z5,?不是群，因为有0；Z+,?也不是群，无限. 说明： 有限群的元素都是有限阶，为群的阶的因子； 反之，元素都是有限阶的群不一定是有限群. 例1 设G为群，若?x?G x2=e, 则G为Abel群。 证 ?x,y?G, xy = (xy)-1 = y-1x-1 =yx 分析：x2=e ? x=x-1 幂运算规则 例2 若群G中只有唯一2阶元，则这个元素与G中所有元素可交换。 证 设2阶元为x, ?y?G, |yxy-1|=|x|=2 ? yxy-1 =x ? yx =xy 分析： |yxy-1|=|x| 例 (1) Z,+是Q,+,R,+的子群,Q,+是R,+的子群,{0},+和R,+是R,+的子群 (2) G=Z,+是整数加群,则对任意的n?N, nZ={nk|k ? Z}都是G的子群 G, ?, -1, e 证明：子群H就是G的子代数. 假若H的单位元为e’, 且x在H中相对e’的逆元为x’, 则 xe’=x = xe ? e’=e xx’ = e’ =e = xx-1 ? x’=x-1 群中有一个子集构成群，则为子代数 注：对于独异点V=S,?,e，尽管S的子集B可以构成V中关于的?运算构成一个独异点B, ? , e’，不一定是V的子独异点。因为e’?e 例如V={P(B), ?, B}, B的子集A?B, {P(A), ?, A}则不为V的子代数 定理1 G是群，H是G的非空子集，则 H?G ? ?a,b?H, ab?H, b-1?H 证：必要性显然成立，只证充分性.(结合律成立和逆元存在，只要证e ?H即可) H非空，存在a属于H， 由条件2，a-1属于H， 有条件1，有aa-1属于H, 即e属于H. 定理3 G是群，H是G的有限非空子集，则 H?G ? ?a,b?H, ab?H 证明：必要性显然成立。证明充分性： 由定理1，只要证明b-1?H即可， 若?b?H,若b=e,则b-1=b ?H.若b?e,令 S={b,b2, …, bk, …}, S?H. 由于H是有穷集，必存在bi=bj(ij),由消去律bj-i=e,由于b?e,所以j-i ?1,即j-i-10, 故e=bj-i-1b,b-1=bj-i-1 ?H 由a生成的子群 a={ak | k?Z},a?G 证：a?a,所以a是非空子集,任取ai,aj ?a,i,j ?Z,有ai(aj)-1=ai-j ?a 由判定定理2，a是子群 # 例：G=Z6,?，则1=5=Z6, 2=4={0,2,4}, 3={0,3}, 0={0} 由B生成的子群 G为群，B?G，B非空，令S={H | H?G,B?H},则K=?S?G, 称为B生成的子群，记作B. 证：e?K,K非空，任取x,y?K,则x,y属于每一个包含B的子群H,则xy-1属于每一个H，xy-1 ?K, 根据x,y的任意性，由判定定理2得K是G的子群。 B中元素是B中的元素或它们的逆元构成的有限序列，即 中心 : G是群,令C={a | a?G, ?x?G(ax=xa)},C是G的子群