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中学数学思想方法教学的若干问题 广东省教育研究院 吴 有 昌 几个值得思考的问题 一、什么是“数学思想方法”？它包括有哪些思想方法？ 二、如何看待数学知识与数学思想方法之间的关系？ 三、如何在教学中渗透数学思想方法？ 数学思想与数学方法 国内外一些有代表性的数学思想方法论著，内容相近而名称不一。有些书称为数学思想，例如，美国克莱因著《古今数学思想》，有些书称为数学方法，例如，前苏联亚历山大洛夫等著《数学——它的内容、方法和意义》。 张奠宙先生认为，“同一个数学思想，当用它去解决别的问题时，就称之为方法，当评价它在数学体系中的自身价值和意义时，就称之为方法。 一般来说，数学思想与数学方法不作区分，或合用称为“数学思想方法”。 数学的一般方法 数学学科与任何学科一样，都属于人类认识自我与认识世界的一种途径。因此，有一些方法是共同的。 1）观察与实验；2）划分与比较；3）分析与综合；4）抽象与概括；5）特殊与一般。 实验就是按照科学研究目的，根据研究对象的自然状态和自身发展规律，人为地设置条件，来引起或控制事物现象的发生或发展过程，并通过感观来认识对象和规律的方法。 在数学中，实验法可用来发现或验证数学对象的性质。 1）特例实验；2）定性实验；如哥德巴赫猜想 ：“任何一个大于4的偶数均可表示成两奇素数之和”，就可以找一些数加以验证。 3）定量实验。例如，三角形内角和定理。 分析是指对研究对象的整体进行分解、剖析，以达到认识对象的各个部分的性质或各个部分在整体中的作用所采用的思维方法。 分析在数学中还特指从结果（结论）出发追溯其产生原因的思维方法，即执果索因法。这种方法又可分为两种：一种是逆求法，另一种是逆推法。 如果在执果索因过程中，每一步分析得到的是充要条件，即所进行的变换是等价变换时，则称这种方法是逆推法。如果每一步分析是从结论出发寻求其成立的充分 条件，则这种方法称为逆求法。 分析法在初中学习几何推理时非常有用。 抽象 是把研究的事物从某种角度看待的本质属性抽取出来，舍去其非本质属性进行考察的思维方法。 一切抽象过程都具有如下环节：分离——提纯—简略。所谓分离，即暂时不考虑所研究对象与其他各个对象之间的各种各样 的总体联系。所谓提纯，就是在思想中排除干扰因素，在纯粹状态下对研究对象进行考察。所谓简略，就是为了更能体现事物的本质，对纯态研究的结果所进行的一种简化，以使表达方式更简洁。 例4、七桥问题：18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。这就是柯尼斯堡七桥问题。 要解决这个问题，若不把问题中的点线之间的关系抽取出来，则难以解决。因此，首先要进行抽象，要把桥看成是“线”，把陆地看成是 “点”，这样就把原来的实际问题转化成数学问题了。事实上，每一个数学建模的题目都必须经过抽象这一个环节。 瑞士数学家欧拉在1736年把这个问题抽象成一笔画问题并解决了此问题。 欧拉证明了一个网络是一笔画的充要条件为：它连通并且奇次点（即与该点关联的边是奇数条）的个数等于0或2。 在初中，字母表示数就是一个抽象的过程，也是初中生思维发展中的一个较大的障碍之一。 数学是抽象的学科。高等的数学是初等数学知识的不断抽象。例如，多维空间；函数的定义，等价关系。。。 从抽象的角度看全等与相似 全等是几何图形之间的一种关系，它满足 （1）自反性 对于任一图形A，有A≌A； （2）对称性 若A≌B，则B≌A； （3）传递性 若A≌B，B≌C，则A≌C. 因此，全等是一种等价关系。 形状完全相同的图形叫做相似的图形。 A，B是相似的图形记作A∽B. 相似也是一种等价关系。 全等是特殊的相似，即大小相同（相似比为1）的相似。 比较是找到事物之间的异同的思维方法。 没有比较，数学概念的学习几乎是不可能的。因为概念的学习在于学习它的本质属性，而本质属性正是事物与别的事物得以区分的属性。 特殊化方法在数学中也经常运用。 （一个古老又有名的难题）两人轮流在圆桌上摆硬币（大小相同），每次摆一个。每个硬币不能重迭，也不能有一部分在桌子的边缘外。这样经过充分多次以后，谁先摆不下就算输。试问是先摆的人还是后摆的人能胜？ 特殊化引导思考的方向，提供解决问题的思路。 以上的这些方法，事实上在每天的数学课中都或多或少的涉及，关键在于教师如何去挖掘，如何去渗透。 数学中的逻辑方法 1、否命题和命题的否定是一样的吗？ 2、在反证法中，为什么第一步是否定命题的结论呢？ 3、什么是排中律，什么是矛盾律？ 4、什么叫枚举归纳法？ 5、什么叫“穆勒五法”？ 概念、判断和推理是逻辑思维的基本形式之一。 在初中数学，有些概念也是值得深究的。 例如，梯形的概