第四单元 大数定律与中心极限定理.pptVIP

第四章 大数定律与中心极限定理 §4.1 特征函数 §4.2 大数定律 §4.3 随机变量序列的两种收敛性 §4.4 中心极限定理 §4.1 特征函数（了解） 特征函数的主要性质 §4.2 大数定律 蒙特卡罗随机模拟—计算定积分 4.2.2 常用的几个大数定律 3、马尔可夫大数定律 注 意 点 (1) 伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例. §4.3 随机变量序列的两种收敛性 依概率收敛的性质 4.3.2 按分布收敛、弱收敛 依概率收敛与按分布收敛的关系 §4.4 中心极限定理 4.4.2 独立同分布下的中心极限定理 4.4.3 二项分布的正态近似 注 意 点 (1) 二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布， 所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作 如下修正： 注 意 点 (2) 中心极限定理的应用有三大类： 一、给定 n 和 y，求概率 二、给定 n 和概率，求 y 三、给定 y 和概率，求 n 4.4.4 独立不同分布下的中心极限定理 李雅普诺夫中心极限定理 第四章 大数定律与中心极限定理 * 第*页 宁波工程学院 理学院 定义4.1.1 设 X 是一随机变量，称 ?(t) = E( eitX ) 为 X 的特征函数. (必定存在) (1) 离散随机变量时， (2) 连续随机变量时， ?(t)是 p(x) 的傅里叶变换，该变换用处很广也很有效（复变函数） 特征函数的作用 特征函数是深入研究概率论问题有力的数学分析工具，其作用在于： 简便证明分布的可加性（将卷积运算化成乘法运算 ） 简化矩运算： ………. 具有一致连续性、非负定性 与分布函数一一对应。也就是说：描述一个 分布可以通过三个函数F(x)， p(x)，?(t) 从 三个角度发挥不同的优势 定理4.2.1（伯努利大数定律） 设 ?n 是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每次试验中 P(A) = p, 则对任意的 ? 0，有 或 温馨提示：频率容易获取，概率一般是理论值. 实验：鱼塘中鱼数的估计---捕鱼 讨论 “概率是频率的稳定值”的确切含义； 为“用频率表示概率”提供理论依据，由此 产生了非常适用的随机模拟方法； 给出几种大数定律： 伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、 马尔可夫大数定律、辛钦大数定律. 解：设X，Y均服从(0,1)上均匀分布 即J=P，而概率P可以用频率取代，生成n个随机数(xk,yk)，满足yk f(xk) 的有m个，则J≈m/n EXCEL综合实验 1 1 y=f(x) x y 0 A 1、大数定律一般形式： 若随机变量序列{Xn}满足： 则称{Xn} 服从大数定律. 2、切比雪夫大数定律 {Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共同的上界，则 {Xn}服从大数定律.定理4.2.2 证明用到切比雪夫不等式. 定理4.2.3 若随机变量序列{Xn}满足： 则 {Xn}服从大数定律. (马尔可夫条件) 4、辛钦大数定律 若随机变量序列{Xn}独立同分布，且Xn的数学期望存在。则 {Xn}服从大数定律.定理4.2.4 (2) 切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例. (3) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例. 蒙特卡罗方法计算定积分 两种收敛性： i) 依概率收敛：用于大数定律； ii) 按分布收敛：用于中心极限定理. 定义4.3.1 (依概率收敛) 大数定律讨论的就是依概率收敛. 若对任意的? 0，有 则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为 定理4.3.1 若 则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除. 对分布函数列 {Fn(x)}而言，点点收敛要求太高. 定义4.3.2 若在 F(x) 的连续点上都有 则称{Fn(x)} 弱收敛于 F(x) ，记为 相应记 按分布收敛 定理4.3.2 定理4.3.3 1、判断弱收敛的方法 定理4.3.4 2、辛钦大数定律的证明思路 欲证: 只须证： 讨论独立随机变量和的极限分布, 本指出极限分布为正态分布. 4.4.1 独立随机变量和 设 {Xn} 为独立随机变量序列，记其和为 定理4.4.1 林德贝格—勒维中心极限定理 设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列，数学期望为?, 方差为 ?20，则当 n 充分大时，有 应用之例: 正态随机数的产生； 误差分析