第三、四单元习题课.pptVIP

* 裘国永 *  用反证法证明。若对所有的i(1≤i≤n) ，ai-bi都是奇数，即若ai是奇（偶）数，则bi必为偶（奇）数。所以a1,a2,…,an中奇（偶）数个数与b1,b2,…,bn中偶（奇）数个数一样。因为a1,a2,…,an中有(n-1)/2个偶数，(n+1)/2个奇数，故b1,b2,…,bn中(n-1)/2个奇数，(n+1)/2个偶数。这与b1,b2,…,bn中有(n-1)/2个偶数，(n+1)/2个奇数矛盾。所以假设错误。 * 裘国永 * 11. 75个儿童到公园游乐场，他们在那里可以骑旋转木马，坐滑行铁道，乘宇宙飞船，已知其中20人这三种都乘过，其中55人至少乘坐过其中的两种。若每种乘坐一次的费用是0.5元，公园游乐场总共收入70元，求有多少儿童没有乘坐过其中任何一种？ * 裘国永 * 解： 设H、T、S分别表示骑旋转木马、坐滑行铁道、乘宇宙飞船的儿童组成的集合。 则三种都乘坐过的儿童是|H∩T∩S|=20人，恰好乘坐过其中两种的儿童是(|H∩T|-|H∩ T∩S|)+(|H∩S|-|H∩T∩S|) +(|T∩S|-|H ∩T∩S|)人。 * 裘国永 * 所以至少乘坐过其中的两种的儿童是 (|H∩T| -|H∩T∩S|)+(|H∩S|-|H∩T∩S|) +(|T∩ S|-|H∩T∩S|)+|H∩T∩S|= |H∩T| +|H∩ S|+|S∩T|-2|H∩T∩S|=55人。所以|H∩T| +|H∩S|+|S∩T|=55+2|H∩T∩S|=95。 * 裘国永 * 由于每种乘坐一次的费用是0.5元，公园游乐场总共收入70元，所以总共有｜H|+|T|+|S|= 70/0.5=140人次乘坐过。 由容斥原理，得 |H∪T∪S|=|H|+|T|+|S|-|H∩T|-|H∩ S|-|T∩S|+|H∩T∩S|=140-95+20=65，所以| ∩ ∩ |=75-|H∪T∪S|=75-65= 10。没有乘坐过其中任何一种的儿童共10人。 * 裘国永 * 12. 设R和S是集合A上的任意关系，判断下列命题是否成立？（1）若R和S是自反的，则R*S也是自反的。（2）若R和S是反自反的，则R*S也是反自反的。（3）若R和S是对称的，则R*S也是对称的。（4）若R和S是传递的，则R*S也是传递的。（5）若R和S是自反的，则R∩S是自反的。（6）若R和S是传递的，则R∪S是传递的。 * 裘国永 * 解：（1）成立。 对任意的a∈A，因为R和S是自反的，则aRa，aSa，于是a(R*S)a，故R*S也是自反的。（2）不成立。 例如，令A={1，2}，R={1，2}，S= {2，1}，则R和S是反自反的，但R*S={ 1，1}不是反自反的。 * 裘国永 * （3）不成立。 例如，令A={1，2，3}，R={1，2，2，1，3，3}，S={2，3，3，2}，则R和S是对称的，但R*S={1，3，3，2}不是对称的。（4）不成立。 例如，令A={1，2，3}，R={1，2，2，3，1，3}，S={2，3，3，1，2，1}，则R和S是传递的，但R*S= {1，3，1，1，2，1}不是传递的。 * 裘国永 * （5）成立。 对任意的a∈A，因为R和S是自反的，则aRa，aSa，于是a(R∩S)a，所以R∩S是自反的。（6）不成立。 例如，令A={1，2，3}，R={1，2}，S={2，3}。则R和S传递，但R∪S={1，2，2，3}不是传递的。 * 裘国永 * 13. 设A={a，b，c}，试给出A上的一个二元关系R，使其同时不满足自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。 * 裘国永 * 解： 设R={a，a，a，b，b，a，b，c}，则 因b，b?R，R不是自反的； 因a，a∈R，R不是反自反的； 因b，c∈R，c，b?R，R不是对称的； 因a，b，b，a∈R，R不是反对称的； 因b，a∈R，a，b∈R，但b，b ?R，R不是传递的。 * 裘国永 * 14. 设X={1，2，3，4}，R是X上的二元关系，R={1，1，3，1，1，3，3，3 ，3，2，4，3，4，1，4，2，1，2}（1）画出R的关系图。（2）写出R的关系矩阵。（3）说明R是否是自反、反自反、对称、传递的。 * 裘国永 * 解：（1）R的关系图如图所示：（2）R的关系矩阵为： * 裘国永 * （3）对于R的关系矩阵，由于对角线上不全为1，R不是自反的；由于对角线上存在非0元，R不是反自反的；由