第七单元 线性变换.pptVIP

第七章 线性变换 7.2 线性变换的运算 7.2.1 加法和数乘 7.5.1 引例 7.5.2 特征值和特征向量的定义 7.5.3 特征值和特征向量的计算方法 求A的全部特征值和特征向量的方法： 7.5.4 特征向量和特征值的性质 4、求A的全部特征值和特征向量的方法： 在经济管理的许多定量分析模型中，经常会遇到矩阵的特征值和特征向量的问题. 它们之间的关系为 写成矩阵形式，就是 是目前的工业发展水平(以某种工业发展指数为测量单位). 例 发展与环境问题已成为21世纪各国政府关注和重点，为了定量分析污染与工业发展水平的关系，有人提出了以下的工业增长模型：设 是某地区目前的污染水平(以空气或河湖水质的某种污染指数为测 量单位)， 若干年后(例如5年后)的污染水平和工业发展水平分别为 和 记 ， ， ， 即(2)式可写成 设当前的 ，则 即 ，由此可以预测若干年后的污染水平与工业发 展水平。 由上例我们发现，矩阵A乘以向量 恰好等于 的4倍，倍数4及向量 即是我们本节要讨论的矩阵的特征值和特征向量. 定义1：设A是一个n阶矩阵，λ是 F 中的一个数，如果存在 V 中非零向量α ，使得 那么称λ为矩阵A的一个特征值，α称为A属于特征值λ的特征向量. 例 因 解: 所以4是 的一个特征值， 是A的属于4的特征向量. 又 故 也是A的属于4的特征向量. 注1：α是A的属于λ的特征向量，则 ，cα也是A的属于λ的特 征向量 练习1 (1) 如果向量 是矩阵 的特征向量， 则k = __________ (2) 设 ，下列向量中可以成为A的 特征向量的是（ ） A. B. C. D. √ 2 (1) 解： (2) 解： A. B. C. D. 使 λ是A的特征值 有非零解 注2： λ是A的特征值 λ是方程 的根 . α是A属于λ的特征向量 且 是 的非零解。 注3：α是A属于λ的特征向量 是 的非零解。 定义2： 称为A的特征多项式。 称为A的特征方程， 称为A的特征矩阵。 例1 设 ，求A的全部特征值、特征的量。 解： A的特征多项式为 A的特征值为 对于 解 由于 得基础解系 A的对应于 的全部特征向量为 即 对于 解 即 由于 得基础解系 A的对应于 的全部特征向量为 注4：A的特征向量有无穷多个，分为两大类： 一类为 一类为 问题1：同类的两个特征向量的线性相关性如何？ 问题2：不同类的任两个特征向量的线性相关性如何？ 1. 计算特征多项式 2. 求特征方程 的所有根， 即得A的全部特征值 3. 对于A的每一个特征值 ，求相应的齐次线性方程组 （ 不全为零 ） 例2：求矩阵 的特征值和特征向量。 的一个基础解系 ，则A的属于 的全部 特征向量为 解 A的特征多项式 A的特征值为 ， 对于 ，解 得基础解系: A的属于特征值1的全部特征向量为 对于 ，解 得基础解为 A的属于特征值 – 1 的全部特征向量为 性质1 有相同的特征值 分析：要证 有相同的特征值 只须证 注意到 性质3 A的主对角线上的元素的和称为A的迹，记作 ，则 性质2 A的属于不同特征值的特征向量线性无关。 注意到 （*） （**） 在（*）和（**）中令λ = 0 练习：求 的特征值，特征向量。 解： A的特征多项式为 所以A的特征值为 对于 ，解 对于 ，解 故A的属于特征值1的全部特征向量为 故A的属于特征值4的全部特征向量为 小结 1、定义1：设A是一个n阶矩阵，λ是 F 中的一个数，如果存在 V 中非零向量α ，使得 那么称λ为矩阵A的一个特征值，α称为A属于特征值λ的特征向量. 2、 λ是A的特征值 λ是方程 的根 . 3、 α是A属于λ的特征向量 是 的非零解。 1. 计算特征多项式 2. 求特征方程 的所有根， 即得A的全部特征值 3. 对于A的每一个特征值 ，求相应的齐次线性方程组 （ 不全为零 ） 的一个基础解系 ，则A的属于 的全部特征向量 为 5、3个性质。 作业：P296 1、（i）（iii） 思考题：矩阵A的特征值由特征向量唯一确定吗？为什么？ 7.6 可以对角化矩阵 一、内容分布 7.6.1 什么是可对角化 7.6.2 本征向量的线性关系