第7单元 特殊关系.pptVIP

第7章 特殊关系 7.1 本章学习要求 判定下列关系具有哪些性质 在全体中国人所组成的集合上定义的“同姓”关系； 对任何非空集合A，A上的全关系； 三角形的“相似关系”、“全等关系”； 直线的“平行关系”； “朋友”关系。 7.2 等价关系 定义7.2.1 设R是定义在非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的、传递的，则称R为A上的等价关系。 例7.2.1 例7.2.2 在时钟集合A＝{0,1,2,…,23}上定义整除关系： R＝{x,y|{x,y?A)∧((x-y)被12所整除)｝。 （1）写出R中的所有元素； （2）画出R的关系图； （3）证明R是一个等价关系。 解 解 (续) 对任意x∈A，有(x-x)被12所整除，所以x,x∈R，即R是自反的。 对任意x,y∈A，若x,y∈R，有(x-y)被12整除，则(y-x)＝-(x-y)被12整除，所以，y,x∈R，即R是对称的。 对任意x,y,z∈A，若x,y∈R且y,z∈R，有(x-y)被12所整除且(y-z)被12所整除，所以(x-z)＝(x-y)＋(y-z)被12所整除，所以，x,z∈R，即R是传递的。 由1,2,3知R是等价关系。 从例7.2.2可以看出 关系R将集合A分成了如下的12个子集： {0,12}，{1,13}，{2,14}，{3,15}， {4,16}，{5,17}，{6,18}，{7,19}， {8,20}，{9,21}，{10,22}，{11,23} 。 例7.2.3 证明 (1)　对任意x?Z，有n|(x-x)，所以x,x?R，即R是自反的。 (2)　对任意x,y?Z，若x,y?R，即n|(x-y)，所以 m|(y-x)，所以，y,x?R，即R是对称的。 (3)　对任意x,y,z?Z，若x,y?R且y,z?R，有n|(x-y)且n|(y-z)，所以由(x-z)=(x-y)+(y-z)得n|(x-z)，所以，x,z?R，即R是传递的。 由(1)、(2)、(3)知，R是Z上的等价关系。 以n为模的同余关系 上述R称为Z上以n为模的同余关系(Congruence Relation)，记xRy为 x＝y(mod n) 称为同余式。如用resn(x)表示x除以n的余数，则 x＝y(mod n) ? resn(x)＝resn(y)。 此时，R将Z分成了如下n个子集： {…,-3n,-2n,-n,0,n,2n,3n,…} {…,-3n+1,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,3n+1,…} {…, -3n+2,-2n+2,-n+2,2,n+2,2n+2,3n+2,…} … {…,-2n-1,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,4n-1,…} 说明 这n个Z的子集具有如下特点： 在同一个子集中的元素之间都有关系R； 不同子集的元素之间没有关系R； 不同子集的交集是空集； 所有这些子集的并集就构成集合Z。 7.2.2 集合的划分 定义7.2.2 给定非空集合A，设有集合S={S1,S2,S3,…,Sm}。如果满足 Si?A且Si≠Φ，i＝1,2,…,m； Si∩Sj＝Φ，i≠j，i,j＝1,2,…,m； 。 例7.2.4 试给出非空集合A上2个不同的划分 解（1）在A中设定一个非空子集A1，令A2=A-A1，则根据集合划分的定义，{A1,A2}就构成了集合A的一个划分，见图(a)； （2）在A中设定两个不相交非空子集A1和A2，令A3=A-(A1∪A2)，则根据集合划分的定义，{A1,A2,A3}就构成了集合A的一个划分，见图(b)。 例7.2.5 设设A={0,1,2,4,5,8,9}， 1、写出R是A上的以4为模的同余关系R的所有元素； 2、求分别与元素1,2,4有关系R的所有元素所作成的集合。 解 7.2.3 等价类与商集 定义7.2.3 设R是非空集合A上的等价关系，对任意x∈A，称集合 [x]R＝{y|y∈A∧x,y∈R} 为x关于R的等价类(equivalence class)，或叫作由x生成的一个R等价类，其中x称为[x]R的生成元(或叫代表元，或典型元)(generator) 。 由定义7.2.3可以看出： 等价类产生的前提是A上的关系R必须是等价关系； A中所有与x有关系R的元素y构成了[x]R； A中任意一个元素一定对应一个由它生成的等价类； R具有自反性意味着对任意x∈A，[x]R≠Φ； R具有对称性意味着对任意x,y∈A，若有y∈[x]R，则一定有x∈[y]R。 例7.2.5(续) 设A={0,1,2,4,5,8,9}，R是A上的以4为模的同余关系。求 （1）R的所有等价类；（2）画出R的关系图。 解：（1）[1]R＝{1,5,9}＝[5]R＝[9]R；[2]R=