第7单元 空间解析几何与向量代数 第五节.pptVIP

第五节 平面及其方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 小结 练习： * 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知平面的法线向量为 设平面上的任一点为 一、平面的点法式方程 且过点 求平面方程. — 平面的点法式方程 解 例1 化简得所求平面方程为 由平面的点法式 取 所求平面方程为 化简得 解 例2 B C A ——称为平面的三点式方程 所以所求平面的法向量为 化简得 所求平面方程为 解 例3 两平面的法向分别为 前面看到,平面可用三元一次方程表示；反之,任一三元一次方程 （*） 当 A,B,C 不全为零时,表示一张平面, 它的法向为 （*）称为平面的一般方程. 平面一般方程的几种特殊情况： 平面通过坐标原点； 平面通过 轴； 平面平行于 轴； 平面平行于 坐标面； 类似地可讨论 情形. 类似地可讨论 情形. 解 例4 求通过x 轴和点(4, ?3, ?1)的平面方程. 由于平面过x 轴, 所以 A = D = 0. 设所求平面的方程为 By + Cz = 0 , 又点(4, ?3, ?1)在平面上, 所以 ?3B ? C = 0 , C = ? 3B , 所求平面方程为 By ? 3Bz = 0 , 所以所求平面方程为 设平面方程为 将三点坐标代入得 解 例5 代入即得所求方程为 平面的截距式方程 o y P x z Q R 把平面方程化为截距式 解 例6 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. 定义 （通常取锐角） 按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征： // 解 例7 两平面的法向分别为 解 例8 判断下列各组平面的位置关系: 两平面平行 两平面平行但不重合． 解 两平面平行 两平面重合. 解 解 例9 所求平面的法向为 化简得 解 例10 设所求方程为 解 四、点到平面的距离 而 ——点到平面距离公式 平面的方程 （熟记平面的几种特殊位置的方程） 两平面的夹角. 点到平面的距离公式. 点法式方程. 一般方程. 截距式方程. （注意两平面的位置关系） *