第7单元 多元函数及其微分法.pptVIP

4、二元函数偏导数的几何意义 表示空间一个曲面。设 为曲面上一点，过 作平面 与曲面相交 于一曲线，则曲线方程为 。 那么 就是这条曲线在点 处的切线 对x轴的斜率。 Z X y Z X y 同样 表示曲面z=f(x,y)与平面 的交线在点 处的切线对y轴的斜率。 5、多元函数可导与连续的关系 对一元函数，若函数在某点可导，则在此点必连续。 对多元函数，是否也有此结论呢？ 若多元函数可导不一定连续。 在点（0,0）处的偏导数和连续性 例 考察函数 二、高阶偏导数 设 在区域D内存在偏导数 这两个偏导数仍然是x、y的函数。 若它们的偏导数还存在，则称这两个函数的偏导数 为 的二阶偏导数。 按照对自变量求导顺序可以分为四种二阶偏导数： 1、f(x,y)对x的二阶偏导数 2、 f(x,y)对x、y的二阶混合偏导数 3、 f(x,y)对y、x的二阶混合偏导数 4、f(x,y)对y的二阶偏导数 例1 设 ，求 ， ， ， ， 定理 若二阶混合偏导数在区域D内连续，则 这两个二阶混合偏导数相等。 例2 验证函数 满足方程 例3 设 证明：函数 满足方程 上述两例中的方程称为拉普拉斯方程. 一元函数的微分定义 若 可表示为 则f(x)在点 可微。 叫做 在点 的微分。 记作dy. 引例 设一圆柱体的底半径为r,高为h，当底半径和高 各自获得增量 和 时，现分析圆柱体体积V的 改变量 圆柱体体积公式 则 即 当 和 都很小时，方框部分可忽略不计 设z=f(x,y)的定义域为D。 ， 当x取得增量 ，y 取得增量 时， 得到另一个点 ，那么P和 的函数值之差 称为全增量。 其中 A , B 不依赖于? x , ? y , 仅与 x , y 有关，则称函数f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 称为函数在点 (x, y) 的全微分, 记作 若 一、全微分 二、多元函数可微、连续、偏导数之间的关系 定理1 若二元函数在点(x,y)可微分，则函数在这个点也连续。 可微 连续 不连续 不可微 定理2(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数在该点偏导数 必存在,且在该点的全微分为 注意：偏导数存在，全微分不一定存在。 反例 定理3 若偏导数连续，则函数的全微分必存在。 在点(0,0)偏导数存在， 但不可微。 的全微分为 推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例1 求 的全微分。 例2 求 在点(2,1)处的全微分。 例3 求 的全微分。 三、全微分的应用 若 ， 连续， ， 都很小时 就有 例2 计算 的近似值。 例1 有一圆柱体受压后发生形变,半径由 20cm 增大 到21cm ,高度由100cm 减少到 99cm ,求此圆柱体 体积的近似改变量. 一、复合函数的中间变量均为一元函数 例1 设 ， ， 。 求全导数 。 例2 设 (u0, ) ， ， 均可导，求 。