第11单元 图与网络模型.pptVIP

欧拉早年解决著名的哥尼斯堡七桥问题，哥尼斯堡城市中有一条河，河中有两个岛，河的两岸和河中的两个小岛有7座桥。当地居民提出：一个步行者能否通过每座桥一次且仅一次就能返回原出发地。 欧拉将此问题归为一笔画问题，即能否从某点开始一笔画出这个图形，最后回到出发点，而不重复。 在这一时期，还有许多游戏问题，诸如环球旅行、迷宫问题、博奕问题等难题，吸引了许多学者，这些问题看起来似乎是一些无足轻重的游戏，但常常 是由于这些游戏引出了许多实用意义的新问题，开辟了新学科。 图论在现实生活中很多，如各种通信网络的合理架设，交通网络的合理分布，邮递员送信，怎么走完他负责投递的全部街道，完成任务回到邮局，使走的路线最短，电子商务物流配送中的最佳运送路线的选择等，都属于图论问题。 例1：五个队比赛的图 图论不仅仅是要描述对象之间关系，还要研究特定关系之间的内在规律，一般情况下图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短曲直，对于反映对象之间的关系并不是重要的，图论中的图与几何图、工程图是不一样的。 从以上图可看出图： （1）图是由一些点和一些点之间的连线（带箭头或不带箭头）所组成的。 （2）具有“对称性”和“不对称性” 概念： 边：两点之间的不带箭头的连线。 弧：两点之间的带箭头的连线。 无向图：由点和边组成。记为Ｇ＝（Ｖ，Ｅ） 一条连结vi,vj∈V的边,记为［vi,vj]或[vj,vi] 上图中：Ｖ＝{v1,v2,v3,v4} E＝ {e1,e2,…..e7} e1=[v1,v2], e2=[v2,v1]………e7=[v4,v4] 有向图：由点和弧组成。记为D=(V,A) 一条方向从vi→vj的弧,记为：（vi,vj) V={v1,…..,v7} A={a1,…….,a11} a1=(v1,v2) a2=(v1,v3) ……. 点数记为：p(G), p(D) 边数记为：q(G) 弧数记为：q(D) 下面介绍一些名词，先考虑无向图： e=[u,v],称u、v是e的端点，也称u、v是相邻的。 称e是u(v)的关联边。 多重边：两点之间有多于一条的边。 简单图：无环，无多重边的图。 多重图：无环，但允许有多重边的图。 次：以点v为端点的边的个数，记为d(v). 悬挂点：次为1的点。 悬挂边：悬挂点的关联边 孤立点：次为0的点。 定理1：在G=(V,E)中，所有点的次之和是边数的两倍。 奇点：次为奇数的点。 偶点：次为偶数的点。 定理2：任一个图中，奇点的个数为偶数。 （因为奇点的边数为奇数，所以个数为偶数） 链：G=(V,E)，一个点、边交错序列（vi1,ei1,vi2,ei2,…..,v(ik-1),e(ik-1),vik)。如满足eit=[vit,v(it+1)],称为一条连结vi1,vi2,…..,v(ik-1),vik的链。记为（vi1,vi2,…..,v(ik-1),vik） 圈：链（vi1,vi2,…..,v(ik-1),vik）中，若vi1=vik,称为圈。记为（vi1,vi2,…..,v(ik-1),vi1）。 初等链：链中各点都不同。 初等圈：圈中除头尾外，中间点都不同。 简单链（圈）：链（圈）中含的边都不相同。 （点可以相同） 以后提到的链（圈），除非特别交代，都指初等链（圈）。 (v1,v2,v3,v4,v5,v3,v6,v7)是简单链。 (v1,v2,v3,v6,v7)是初等链。 连通图：G中，若任何两点之间，至少有一条链，否则，称为不连通图。 连通分图：若 Ｇ不连通，它的每个连通，部分称为连通分图。 支撑子图：G=(V,E)，如果G’=(V’,E’),使V=V’及E’ E,则G’为G的一个支撑子图. 有向图中: 路:如有（vi1,ai1,vi2,ai2,…..,v(ik-1),a(ik-1),vik)是D中一条链，且有ait=(vit,v(it+1)),称从vi1→vik的一条路。 回路：若路中第一点和最后一点相同，则称为回路。 【例11.12】某石油公司拥有一个管道网络，使用这个网络可以把石油从采地运送到一些销售点，这个网络的一部分如下图所示。由于管道的直径的变化，它的各段管道（vi,vj）的流量cij（容量）也是不一样的。cij的单位为万加仑/小时。如果使用这个网络系统从采地 v1向销地 v7运送石油，问每小时能运送多少加仑石油？ 最大流问题网络图论的解法 对网络上弧的容量的表示作改进。为省去弧的方向，如下图: (a)和(b)、(c)和(d)的意义相同。