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作 业 P65 T3 第二章 极限与连续 上页 下页 返回 济南大学理学院 第二章 极限与连续 1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法： a. 多项式与分式函数代入法求极限（极限运算法则）； b. 消去零因子法求极限（0/0型）; c. 无穷小因子分出法求极限（?/?型）; d. 利用无穷小运算性质求极限（无穷小与无穷大的关系, 无穷小与有界函数的乘积，无穷小之和的运算等等）; e. 利用左右极限求分段函数极限（分段函数求极限）. f. 复合函数求极限 内容回顾 第五节 极限存在准则 两个重要极限 两个重要极限 极限存在准则 思考题、 小结 1.两边夹准则 一、极限存在准则 例1 解 由两边夹准则得 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释: 2.单调有界准则 证 (舍去) 例2 (1) 二、两个重要极限 由于基本初等函数在其定义域内任意一点 处的极限值等于该点处的函数值. 注 无穷小 无穷小 (1) 例3 解 (2) 定义 超越数 推广 得另外的等价形式： 准确记忆 注 无穷小 无穷小 无穷大 无穷大 做题时必须化成此种类型，才能利用结论. 例4 解: 例5 解: 幂指函数 设一笔贷款A0(称本金)，年利率为r，则 1年后的本利和为 A1 = A0(1+r) 2年后的本利和为 k年后的本利和为 A2 = A1(1+r) = A0(1+r)2 Ak=A0(1+r)k 三、连续复利 如果1年分n期计息，年利率仍为r， 1年后的本利和为 k年后的本利和为 如果计息期数 ,即每时每刻计算复利 则每期利率为 , （称为连续复利），则k年后的本利和为 解答 思考题 1.两个准则: 2.两个重要极限 两边夹准则; 单调有界准则 . 3. 连续复利 小结 作 业 P62 T1(偶), T2 (偶), T3 第六节 无穷小的比较 等价无穷小的替换 无穷小的比较 思考题 小结 1.两个准则: 2.两个重要极限 两边夹准则; 单调有界准则 . 3. 连续复利 内容回顾 例如 极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 观察各极限 一、无穷小的比较 定义: 解： 例1 例2 解： 常用等价无穷小: 用等价无穷小可给出函数的近似表达式: 64页定理1 例如, 定理(等价无穷小替换定理) 证： 等价无穷小的一个重要作用：简化极限计算过程，以等价无穷小替换定理作为理论基础. 二、等价无穷小的替换 例3 解： !!!不能滥用等价无穷小代换. !!!对于代数和中各无穷小不能分别替换. 注： 例4 正确解法： 解： 解答 思考题 任何两个无穷小量都可以比较吗？ 不能． 例如当 时, 都是无穷小量 不存在且不为无穷大. 故当 时, 1.无穷小的比较: 反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较. 2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法,注意适用条件. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶. 小结 第二章 极限与连续 上页 下页 返回 济南大学理学院 第二章 极限与连续