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多题一法专项训练(四)　构造法 一、选择题 1．已知三个互不重合的平面α，β，γ，α∩β＝m，nγ，且直线m，n不重合，由下列三个条件：m∥γ，nβ；m∥γ，nβ；m?γ，nβ. 能推得mn的条件是(　　) A．或　　　　　　　　B．或 C．只有 D．或 2．方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内(　　) A．没有根 B．有且仅有一个根 C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根 3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的通项公式为(　　) A. B. C. D. 4．如图所示，已知三棱锥P-ABC，PA＝BC＝2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，则三棱锥P-ABC的体积为(　　) A．40 B．80 C．160 D．240 5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 二、填空题 6．若a3，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰有________个实根． 7．已知实数x，y满足|x|＋|y|≤4，则x2＋(y－6)2的最小值是________． 8．若不等式4x2＋9y2≥2kxy对一切正数x，y恒成立，则整数k的最大值为________． 三、解答题 9．求数列{an}的通项公式： (1)已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an－2(nN*)； (2)已知数列{an}满足：a1＝3，且an＋1＝(nN*)． 10．设函数f(x)＝x－(x＋1)ln(x＋1)(x－1)． (1)求f(x)的单调区间； (2)证明：当nm0时，(1＋n)m(1＋m)n. 11．设f(x)＝ex－1. (1)当x－1时，证明：f(x)； (2)当aln 2－1且x0时，证明：f(x)x2－2ax. 12．设数列{an}的前n项和Sn＝an－×2n＋1＋，nN*. (1)求首项a1与通项an； (2)设Tn＝，nN*，证明：i. 1．选B　构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件：取平面α为平面ADD′A′，平面β为平面ABCD，则直线m为直线AD.因mγ，故可取平面γ为平面A′B′C′D′，因为nγ且nβ，故可取直线n为直线A′B′. 则直线AD与直线A′B′为异面直线，故m与n不平行．因此，可排除A、C、D，选B. 2．选C　求解方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)＝|x|和g(x)＝cos x在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．由f(x)＝|x|和g(x)＝cos x的图象易知有两交点，即原方程有且仅有两个根． 3．选C　an＋1＝，a1＝1，an≠0，＝＋，即－＝， 又a1＝1，则＝1，{}是以1为首项，为公差的等差数列． ＝＋(n－1)×＝＋，an＝(nN*)． 4．选C　因为三棱锥P-ABC的三组对边两两相等， 则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥P-ABC补成一个长方体AEBG-FPDC， 易知三棱锥P-ABC的各边分别是此长方体的面对角线． 不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，则由已知，可得 从而知VP-ABC＝VAEBG-FPDC－VP-AEB－VC-ABG－VB-PDC－VA-FPC＝VAEBG-FPDC－4VP-AEB＝6×8×10－4××6×8×10＝160. 5．选D　f′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即：a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，而(3x2)min＝3×12＝3. a≤3，故amax＝3. 6．解析：设f(x)＝x3－ax2＋1， 则f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a)， 由于a3，则在(0,2)上f′(x)0，f(x)为减函数， 而f(0)＝10，f(2)＝9－4a0， 则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰有1个实根． 答案：1 7．解析：由|x|＋|y|≤4可得到不等式组其对应的区域为边长为4的正方形，即图中阴影部分(包括边界)，x2＋(y－6)2表示定点M(0,6)与区域上的点(x，y)的距离的平方，易得x2＋(y－6)2的最小值是4. 答案：4 8．解析：由4x2＋9y2≥2kxy，且x0，y0得2k≤， 又≥＝12， 当且仅当4x2＝9y2“＝”成立， 2k≤12.则kmax＝3. 答案：3 9．解：(1)由已知，可得an＋1＝3an－2， 所以an＋1－1＝3(an－1)． 故{an－1}是一个首项为a1－1＝1，公比为3的等比数列． 所以an－1＝1×3n－1，故an＝3n－1＋1. (2)由已知，可得当nN*时，an＋1＝，两边取倒数，得＝＝＋2， 即－＝2，所以{}是一个首项为＝，公差为2的