数学建模第02章_简单的优化模型.pptVIP

第 二 章 简单的优化模型 简单的优化模型是指无约束条件的极值问题，可归结为微积分中的函数极值问题，直接用微分法求解。 * 1 最优价格 2 森林救火 一 最优价格 问题 根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大 假设 1）产量等于销量，记作 x 2）收入与销量 x 成正比，系数 p 即价格 3）支出与产量 x 成正比，系数 q 即成本 4）销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数 建模与求解 收入 支出 利润 进一步设 求p使U(p)最大 使利润 U(p)最大的最优价格 p*满足 最大利润在边际收入等于边际支出时达到 建模与求解 边际收入 边际支出 结果解释 q / 2 ~ 成本的一半 b ~ 价格上升1单位时销量的下降 幅度（需求对价格的敏感度） a ~ 绝对需求( p很小时的需求) b ? ? p*? a? ? p* ? 思考：如何得到参数a, b? 二 森林救火 森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。 问题分析 问题 记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t). 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定. 救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定. 存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小 关键是对B(t)作出合理的简化假设. 问题分析 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形 t1 t2 0 t B B(t2) 分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt. 模型假设 3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费) 1）0?t?t1, dB/dt 与 t成正比，系数? (火势蔓延速度） 2）t1?t?t2, ? 降为? -? x (?为队员的平均灭火速度） 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3 假设1）的解释 ? r B 火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径 r与 t 成正比 面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比. * * * * *