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椭圆及其几何性质
1、平面内与两个定点,的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.
2、椭圆的几何性质:
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 、
、 、
、 轴长 短轴的长 长轴的长 焦点 、 、 焦距 对称性 关于轴、轴、原点对称 离心率 准线方程 3、设是椭圆上任一点,点到对应准线的距离为,点到对应准线的距离为,则.
4、平面内与两个定点,的距离之差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距.
5.顶点:
椭圆和它的对称轴有四个交点,这四个交点叫椭圆的顶点.
其中A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点;
B1(0,-b),B1(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.
线段A1A2、B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a和2b,a和b分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长.
6.离心率:
椭圆的焦距与长轴长的比,叫做椭圆的离心率.
说明①因为所以.
②e越接近1,则c越接近a,从而越小,因此椭圆越扁;反之,e越接近于0,c越接近于0,从而b越接近于a,这时椭圆就接近于圆;
③当且仅当a=b时,c=0,这时两焦点重合,图形变为圆.
附:焦半径公式:p为椭圆上任意一点,令。
巩固练习
1.
2.
3. 椭圆的对称轴是坐标轴,已知一个焦点是(?4,0),一个顶点是(5,0),则该椭圆方程是 [ ]
4. 已知椭圆的对称轴是坐标轴,一个焦点是(0, ?7), 一个顶点是(9, 0),则该椭圆的方程是 [ ]
5.
6. 已知椭圆中心在原点,长轴长是2,一条准线为x=?2,则离心率为 [ ]
7. 椭圆中心在原点,对称轴是坐标轴,长轴长是2,一条准线为x=?2的椭圆方程是 [ ]
8. 中心在坐标原点,一个焦点为(0,2),一条准线方程为y=4的椭圆方程
为 [ ]
9. 椭圆中心在原点,长轴长是短轴长的两倍,一条准线方程是x=?4,那么这个椭圆方程是 [ ]
10.
11. 一个动点P到定点A(2,0)的距离和到定直线x=8的距离之比为1?2,则P点的轨迹方程是 [ ]
?
12.
A.2 B.3.125 C.4.5 D.1.875
填空题
13、中心在原点,对称轴在坐标轴,长轴是短轴的5倍,且过点P(7,2)的椭圆方程是________________________.
三、解答题:
14.已知三角形的两顶点为,它的周长为,求顶点轨迹方程.
中心在原点,一焦点为F1(0,5)的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点横坐标是,求此椭圆的方程。
16、设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=,已知点P(0,)到椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆方程。
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