从伦敦到里约仅仅过了4年.ppt

一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习 1.2.4 无穷大与无穷小 一、案例 [洗涤效果] 在用洗衣机清洗衣物时，清洗次数越多，衣物上 残留的污质就越少。当洗涤次数无限增大时， 衣物上的污质量趋于零。 二、概念和公式的引出 无穷小 无穷大 若 ，则称函数f (x)当 时为无穷小（量）。 若当 时，对应的函数值f (x)的绝对值 无限增大，则称f (x)当 时为无穷大(量)。 记作 ． 注：无穷小是一个变量，而不是常量。很小的数 除0外）都不是无穷小。 无穷小和无穷大的关系 是无穷小 是无穷大。 注：同理，无穷大也是一个变量，而不是常量。很大 的数（如1万，1亿等）都不是无穷大。 三、进一步练习 练习1 [单摆运动] 单摆离开铅直位置的偏度可以用角θ来度量，如下图所示．这个角可规定当偏到一方（如右方）时为正，而偏到另一方（如左方）为负．如果让单摆自己摆，则由于机械摩擦力和空气阻力，振幅就不断 地减小．在这个过程中， 角θ是一个无穷小量． 练习2 [游戏销售] 销售量会迅速增加，然后开始下降，其函数 请计算游戏推出后第6个月、第12 (2) 如果要对该产品的长期销售做出 当推出一种新的电子游戏程序时，在短期内 为月份 。 关系为 ， 个月和第三年的销售量. 预测，请建立相应的表达式. 解 (1) 8.8235 9.8361 5.1576 即 无穷大的倒数为无穷小 (2) 从上面的数据可以看出，随着时间的推移， 游戏. 人们购买此游戏会越来越少，从而转向购买新的 时的销售量. 该产品的长期销售应为时间 上式说明当时间 时，销售量的极限为0，即 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习 1.2.5 函数极限的运算 一、案例 用列表法或图形法讨论较复杂的函数的极限，不仅 下表列出 在x=0处附近取值时的函数值． 0 0.24991 0.00990 0.000000005 ？ 我们可能会估计 ，但这个结果是错误的． 工作量大，而且还不一定准确，如求 二、概念和公式的引出 极限的四则运算法则 设 则 ， （1） （2） （3） 极限的四则运算法则表明函数和、差、积、商(分母0 极限不为0)的极限等于它们极限的和、差、积、商． 法则1、2可以推广到有限个函数的情形. 注： 复合函数的极限运算法则 设由函数 构成的复合函数 与 满足 ，而函数f (u)在a点连续， 则 * 如何准确地刻画无限接近这一过程呢? 十九世纪以前，人们用朴素的极限思想计算了圆的面积、体积等．十九世纪之后，柯西以物体运动为背景，结合几何直观，引入了极限概念．后来，维尔斯特拉斯给出了形式化的数学语言描述．极限概念的创立，是微积分严格化的关键．它奠定了微积分学的基础． 背景 1.2 函数的极限 1.2.1 函数的极限的概念 （一） 函数的极限 （二） 函数的极限 1.2.2 单侧极限 1.2.3 数列的极限 1.2.4 无穷大与无穷小 1.2.5 函数极限的运算 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习 1.2.1 函数极限的概念（一） 一、案例 将一盆800C的热水放在一间室温为200C的 房间里，水的温度将逐渐降低，随着时间的 推移，水温会越来越接近室温200C。 案例1 [水温的变化趋势 ] 在某一自然保护区中生长的一群野生动物，其群体数量会逐渐增长，但随着时间的推移，由于自然环境保护区内各种资源的限制，这一动物群体不可能无限地增大，它应达到某一饱和 案例2 [自然保护区中动物数量的变化规律] 状态，如右图所示.饱和 时野生动物群的数量． 状态就是时间 二、 概念和公式的引出 当 时函数的极限 当自变量 设函数 , （或 ） 的绝对值无限增大时，相应的函数 值 无限 接近于 ，则称 为函数 当 时的 极限，记作 ． 三、进一步练习 练习1 (让取值越来越大) ． 0.000001 0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 1000000 100000 10000 1000 100 10 1 x … … … -0.00001 -0.0001 -0.001 -0.01 -0.1 -1 … -100000 -10000 -1000 -100 -10 -1 x -1000000 -0.000001 下面考察函数 在