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最短路径问题（导学案） 洪湖市龙口镇和里中学 龚宝金 教学目标： 1知识与技能：理解和掌握解决最短距离问题的一般思想方法 2.过程与方法：培养学生转化思想和数形结合思想 3.情感态度与价值观: 通过专项讲解，归纳出方法和规律，消除学生对此类问题的陌生感和畏惧感，提高学生解决问题的信心和解决问题的能力。 教学重点：利用轴对称作图确定使距离最短的点 教学难点：数形结合思想与数学建模思想的培养 教学过程 温故而知新1. 在公路l两侧有两村庄，现要在公路l旁修建一所候车亭P，要使候车亭到两村庄的距离之和最短，试确定候车亭P的位置。 ★思考：本题运用了 。 随堂练习一. 1. 造桥选址问题：如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。） ★思考：本题运用了 。 二．温故而知新2. 如图，在河的同侧有两村庄，现要在河边L建一泵站P分别向A、B两村庄同时供水，要使泵站P到A村、B村的距离之和最短，确定泵站P的位置。 ★思考：本题运用了 。 随堂练习二： 如图,已知正方形ABCD，点M为BC边的中点， P为对角线BD上的一动点，要使PM+PC的值最小，请确定点P的位置。 2. 如图，已知菱形ABCD，M、N分别为AB、BC边的中点，P为对角线AC上的一动点，要使 PM+PN的值最小，试确定点P的位置。 三．合作探究——拓展与延伸. 1.如图，点P在∠AOB内部，问如何在射线OA、OB上分别找点C、D， 使PC+CD+DP之和最小？ 2. 饮马问题: 如图牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径。 四、中考链接 如图，以矩形OABC的顶点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=4，OC=2，点E、F分别是边AB、BC的中点， 在x轴、y轴上是否分别存在点N、M，使得四边形MNEF的周长最小？如果存在，请在图中确定点M、N的位置，若不存在，请说明理由。 五 课堂小结 谈谈你的收获……… 考察知识点：两点之间线段最短，点关于直线对称，线段的平移等； 数学思想：数形结合思想，化归与转化思想，数学模型思想等； 原 型：1.饮马问题， 2. 建桥选址问题； 试题变式背景： 角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、坐标轴等。 数学模型： 1．实际问题：如图，在河的同侧有两村庄，现要在河边L建一泵站P分别向A、B两村庄同时供水，要使泵站P到A村、B村的距离之和最短，确定泵站P的位置,并在图中作出表示最短距离的线段。 2.数学问题 已知直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作点P，使PA+PB的值最小. 六． 巩固练习： 1. 如图，已知菱形ABCD，M、N分别为AB、BC边的中点，P为对角线AC上的一动点，要使 PM+PN的值最小，试确定点P的位置。 变式1. 如图，已知菱形ABCD，M、N分别为 AB、BC边上的点，P为对角线AC上的一动点，要使 PM+PN的值最小，试确定点P的位置。 变式2. 如图，已知菱形ABCD的边长为6，面积为30，∠BAD=60°,点M为AB边的中点，点P为对角线AC上的一动点，要使 PM+PB的值最小，试确定点P的位置，并求出PM+PB的最小值. 变式3. 如图，已知菱形ABCD，M、N分别为AB、BC边上的点，P为对角线AC上的一动点，要使 △MPN的周长最小，试确定点P的位置. 2. 如图，已知点P是直线x=1上的一动点，点A的坐标为（0，－2）， 若△OPA的周长最小,试在图中确定点P的位置。 3. 如图，点A、B位于直线L同侧，定长为a的线段MN在直线L上滑动， 请问当MN滑到何处时，折线AMNB长度最短？。 和里学校初中数学专题复习——最短路劲问题 第 4 页 共 4 页 第1题图 第2题图 B A 第三（1）