北京理工大学《离散数学》第5章 函数-2012-2013-2版.pptVIP

* 三、函数的性质 定义5.7 设函数 f : A?B， (1) 若值域ranf=B，则称 f 是满射的。 (2)若?y?ranf (?B)，都存在唯一的x?A,使得 f(x)=y，则称 f 是单射的。 (3) 若 f 既是满射又是单射，则称 f 是双射。 若f: A?B是满射，则 对?y?B，都存在x?A，使得f(x)=y。 若f: A?B是单射，则 对?x1、x2?A，如果x1?x2，则f(x1)?f(x2)。 * * 集合A={1,2,3,4},B={1,2,3}f:A--B映射. 满射：就是B中的每个元素都有原象比如f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,f(4)=1这是满射，但不是单射,因为1有两个原象 1,4。 集合A={1,2,3},B={1,2,3,4}f:A--B映射.单射：就是B中元素若有原象,则只有一个原象,可以有元素没有原象.比如f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,这是单射,但不是满射,显然,4没有原象。 既是单射又是满射,称为双射,要求B中的每个元素都有唯一的原象.此时A,B中元素基数（可理解为个数）相等集合A={1,2,3},B={1,2,3}f:A--B映射如f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3这是双射,既是单射又是满射 * * 确定下列F是否为A到B的函数。若是则 指出其是否为单射、满射或双射的。 (1) A = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 6, 7, 8, 9} F = { 1, 6, 3, 5, 4, 7, 2, 8 } (2) A, B 同上，F = { 1, 6,3, 5,4, 7,2, 6 } (3) A, B 同上，F = { 1, 6,3, 5,4, 7,1, 8 } (1) F是从A到B的函数，是单射的，不是满射的。 (2) F是从A到B的函数，不是单射的，不是满射的。 (3) F不是从A到B的函数。 * 确定下列F是否为A到B的函数。若是则 指出其是否为单射、满射或双射的。 (4) A, B为实数集，F (x)= x2 - x (5) A, B同上，F (x)= 1/x (6) A, B同上，F (x)= x/(x2 +1) (4) F是从A到B的函数，不是单射的，不是满射的。 (5) F不是从A到B的函数。 (6) F是从A到B的函数，不是单射的，不是满射的。 * 问题：判断下面的关系图所示二元关系是否为函数？如果是函数，是否为满射、单射或双射？ 解：它们都是函数。(2)单射,(3)满射，(4)双射。 三、函数的性质 思考: |A|=m,|B|=n,若从A到B存在单射,满射,双射的函数，那么m，n分别应满足什么样的条件？ * 例3 判断下列函数是否为单射、满射、双射，为什么？ （l）f：R?R，f(x)= -x2+2x-1 （2）f：Z+?R，f(x)=Inx，Z+为正整数集 （3）f：R?R，f(x)= 2x＋l 解:（l）f：R?R，f(x)= -x2+2x-1是顶点在(0,1)、开口向下的抛物线。因此它既不是单射，也不是满射的。 （2）f：(A)Z+?(B)R，f(x)=Inx是单调上升的，因此是单射的。但不是满射的(不允许1对1)，因为ranf = {In1, In2,…} ? R。 （3）f：R?R，f(x)= 2x＋l是满射，单射、双射的。因为它是单调函数，且 ranf=R。 三、函数的性质 * 一、函数的复合 因为函数是一种特殊的二元关系，函数的复合就是关系的合成，一切和关系合成有关的定理都适用于函数的复合。 例1 设X={a,b,c}，Y={A,B,C,D}，Z={1,2,3} f：X?Y，f = {a,A,b,C,c,B} g：Y?Z，g= {A,2,B,1,C,2,D,3} 求：f?g 解：f?g={a,2,b,2,c,1} 。 一、函数的复合 5-2 函数复合与反函数 * 定理5.1 设F、G是函数，则F?G也是函数，且满足 (1) dom(F?G)={ x | x?domF ? F(x)?domG } (2) ?x?dom(F?G)，有F?G(x)=G(F(x)) 一、函数的复合 函数复合的性质 1)函数复合是可结合的(∵关系的复合是可结合的) 2)函数复合一般是不可交换的, 定理5.2 设f：A?B，g：B?C (1) 如果f、g都是满射的，则f?g：A?C也是满射的。 (2) 如果f、g都是单射的，则f?g：A?C也是单射的。 (3) 如果f、g都是双射的，则f?g：A?C也是双射