数值计算技巧复习题9.docVIP

习题九 1. 取步长h = 0.1，分别用欧拉法与改进的欧拉法解下列初值问题 ?? ?（1） ；??????? （2） ??? ??? 准确解：（1） ；（2） ；显示答案 ?欧拉法： ， ， ， 改进的欧拉法： ， ， ， 2. 用四阶标准龙格—库塔法解第1题中的初值问题，比较各法解的精度。， ， ， 显示答案 3. 用欧拉法计算下列积分在点 处的近似值。 显示答案0.5000,1.1420,2.5011,7.2450??? 4.? 求下列差分格式局部截断误差的首项，并指出其阶数。 ??? （1） ，2 ??? （2） ，3； ??? （3） ，4 （4） ，45.显示答案用Euler法解初值问题取步长h=0.1，计算到x=0.3(保留到小数点后4位). 解:　直接将Eulerr法应用于本题，得到 由于，直接代入计算，得到 6.用改进Euler法和梯形法解初值问题取步长h=0.1,计算到x=0.5，并与准确解相比较. 解：用改进Euler法求解公式，得 计算结果见下表 用梯形法求解公式，得 解得 精确解为 7.证明中点公式(7.3.9)是二阶的，并求其局部截断误差主项. 证明　根据局部截断误差定义，得 将右端Taylor展开，得 故方法是二阶的，且局部截断误差主项是上式右端含h3的项。 8.用四阶R-K方法求解初值问题取步长h=0.2. 解　直接用四阶R－K方法 其中 计算结果如表所示： 9.对于初值问题 解　　因f(y)=-100，故由绝对稳定区间要求(1)用Euler法解时，(2)用梯形法解时，绝对稳定区间为，由因f对y是线性的，故不用迭代，对h仍无限制。(3)用四阶R-K方法时， 10. (1) 用Euler法求解，步长h应取在什么范围内计算才稳定?(2) 若用梯形法求解，对步长h有无限制? (3) 若用四阶R-K方法求解，步长h如何选取? 解：用四阶显式Adams公式先要算出，而，其余3点可用四阶R-K方法计算。由，得 由计算得 再由四步四阶Adams显式方法得 11.用四步四阶的Adams显式方法求解初值问题取h=0.1.(1)用形如的线性二步法解(2)试确定参数，使方法具有尽可能高的阶数，并求出局部截断误差主项. 解　本题仍利用局部截断误差的Taylor展开，要确定参数，可令 解得而方法得局部截断 故所求方法是二阶方法，局部截断误差主项为 1