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习 题 4.3 导数四则运算和反函数求导法则
⒈ 用定义证明。
证 由于
，
根据的连续性和，可知
2. 证明：
⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ ； ⑸ ； ⑹ 。 解（1）。
（2）。
（3）。
（4）。
（5）。
（6），
。
3. 求下列函数的导函数：
⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ ； ⑸ ； ⑹ ； ⑺ ； ⑻ ； ⑼ ； ⑽ ； ⑾ ； ⑿ ； ⒀ ； ⒁ ； 解 （1）。
（2）。
（3）
。
（4）
。
（5）
。
（6）
。
（7）。
（8）
。
（9）
。
（10）
。
（11）
。
（12）
。
（13）
。
（14）
。
4. 求曲线在处的切线方程和法线方程。
解 因为，切线方程为
,
法线方程为
。
5. 当取何值时，直线能与曲线相切，切点在哪里？
解 设切点为，由于是的切线，其斜率为1，
所以，故。又由，得到
，即，从而，切点为。
6． 求曲线（）上过点的切线与轴的交点的横坐标，并求出极限。
解 因为，所以过点的切线为，它与
轴交点的横坐标为，因此
。
7. 对于抛物线，设集合
；
；
，
请分别求出这三个集合中的元素所满足的条件。
解 ，不妨设，抛物线开口向上。过可以作该抛物线
两条切线当且仅当在该抛物线的下方，即。同理当
时, ，因此
。
过只可以作该抛物线一条切线当且仅当在该抛物线上，
所以
。
由此得到
。
8. ⑴ 设在处可导，在处不可导，证明在处也不可导。
⑵ 设与在处都不可导, 能否断定在处一定可导或一定不可导？
解 （1）记，当时，如果在处可导，则在处也可导，从而产生矛盾。
（2）不能断定。如，当时，在处是可导的；当时，在处不可导。
9. 在上题的条件下，讨论在处的可导情况。
解 函数在处可导，在处不可导，则当时在处可导，当时在处不可导。
函数在处都不可导，但在处可导。函数在处都不可导，在处也不可导。
10．设（）为同一区间上的可导函数，证明
。
证 根据行列式的定义
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