典型例题[三、三角函数的图象与性质].docVIP

●典型例题 ［例1］已知函数y=sin2x+cos2x-2. (1)用“五点法”作出函数在一个周期内的图象. (2)求这个函数的周期和单调区间. (3)求函数图象的对称轴方程. (4)说明图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的. 解：y=sin2x+cos2x-2=2sin(2x+)-2 (1)列表 x 0 2 -2 0 -2 -4 -2 其图象如图示 (2)=π. 由-+2kπ≤2x+≤+2kπ，知函数的单调增区间为 ［-π+kπ,+kπ］,k∈Z. 由+2kπ≤2x+≤π+2kπ，知函数的单调减区间为 ［+kπ,π+kπ］,k∈Z. (3)由2x+=+kπ得x=+π. ∴函数图象的对称轴方程为x=+π,(k∈Z). (4)把函数y1=sinx的图象上所有点向左平移个单位，得到函数y2=sin(x+)的图象； 再把y2图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y3=sin (2x+)的图象； 再把y3图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y4=2sin (2x+)的图象； 最后把y4图象上所有点向下平移2个单位，得到函数y=2sin (2x+)-2的图象. 评注：(1)求函数的周期、单调区间、最值等问题，一般都要化成一个角的三角函数形式. (2)对于函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴，实际上就是使函数y取得最大值或最小值时的x值. (3)第(4)问的变换方法不惟一，但必须特别注意平移变换与伸缩变换的先后顺序！ ［例2］如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+B. (1)求这段时间的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式. 解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是30-10=20(℃) (2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+B的半个周期的图象. ∴·=14-6ω=. 又由图可得 ∴y=10sin(x+φ)+20. 将x=6，y=10代入上式得：sin(π+φ)=-1 ∴ 故所求的解析式为 y=10sin(x+π)+20，x∈［6,14］. 评注：①本题以应用题的形式考查热点题型，设计新颖别致，匠心独具. ②此类“由已知条件或图象求函数的解析式”的题目，实质上是用“待定系数法”确定A，ω，φ和B，它们的计算方法为： ω与周期有关，可通过T=求得，而关键一步在于如何确定φ？通常是将图象上已知点的坐标代入函数解析式，得到一个关于φ的简单三角方程，但φ到底取何值值得考虑.若得方程sinφ=，那么φ是取，还是取π呢？这就要看所代入的点是在上升的曲线上，还是在下降的曲线上，若在上升的曲线上，φ就取，否则就取π，而不能同时取两个值. ［例3］a为何值时，方程sin2x+2sinxcosx-2cos2x=a有实数解. 分析：所给方程的特征较明显，即是关于sinx与cosx的奇式方程，通过变形就可化为以tanx为变元的一元二次方程，从而据判别式进行求解. 解法一：原方程可化为： sin2x+2sinxcosx-2cos2x=a(sin2x+cos2x) 即(1-a)sin2x+2sinxcosx-(2+a)cos2x=0. (1)当a≠1时，∵cosx≠0, ∴方程两边同除以cos2x得(1-a)tan 2x+2tanx-(2+a)=0. ∵tanx∈R.∴Δ≥0.即4+4(1-a)(2+a)≥0. 即a2+a-3≤0.又a≠1, ∴a∈［,1］∪(1,］ (2)当a=1时，原方程化为2sinxcosx-3cos2x=0, 此方程有实根. 综合(1)、(2)可得a∈［,］时，原方程有实数根. 解法二：(用函数观点) 当实数a取函数y=sin2x+2sinxcosx-2cos2x值域中的数值时，原方程有实根.因此，求a的范围，实质上就是求上述函数的值域. ∵y=sin2x+2sinxcosx-2cos2x =1+sin2x-3cos2x =1+sin2x-(1+cos2x) =sin2x-cos2x- =sin(2x-φ)- . 其中 ∴y∈［］. 即a∈［］时，原方程有实数根. 评注：解法一是常规解法，解法二利用了变换的观点.通过函数思想来解方程.函数与方程是数学中两个重要的概念，在解决数学问题时，如能灵活运用，将使解答具有创造性. ［例4］某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室.(如图所示)，ABCD是一块边长为50 m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40 m，矩形A