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四、总结与思考 1. 幂与方根的计算. 重点是方根的运算，注意其几何意义. 2. 掌握曲线和区域的概念，重点是判别不等式或方程代表的是否是区域、何种区域. 3. 重点掌握复平面上的点和复球面上的点如何对应. 是多连通域. 不是区域. 例7 求满足不等式 的点 z 所构成的点集， 作出它的图形. 并指出它是有界还是无界区域， 是 单连通还是多连通的？ 解 即 整理得 从而有 即 它是以(?5/2, 0)为圆心, 以3/2为半径的圆周的外部， 是无界多连通区域. O x y (?5/2, 0) 三、复球面 x2 + y2 + z2 =1 球面上点 N (0, 0 ,1) 称为北极. ， ， 复平面上点 z对应球面上点 P. 点 P 坐标为 （(1?t ) x, (1 ? t) y, t） 并且 点 P 坐标为 解得 反过来，球面上点P (x1, y1, z1)对应着球面上的点 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作∞.复平面上的无穷远点与球面上的北极 N相对应. 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大∞的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面. 复球面的定义 3. 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数∞来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大. * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节 幂与根、平面概念及复球面 一、幂与根 二、复平面上的曲线和区域 四、小结与思考 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、复球面 一、幂与根 1. n次幂: 棣莫佛公式 棣莫佛介绍 2.棣莫佛公式 当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现. 从几何上看, 例1 解 例2 解 即 练习： 2．以方程 　的根的对应点为顶点的 多边形的面积为 答案： 二、复平面上的曲线与区域 区域 邻域 边界点 边界 1. 区域 外点 邻域: 去心邻域: 内点: 开集: 如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称为开集. 聚点： 若点 z0 的任意邻域内都含有G 的无穷多个点， 则称 z0 为G的聚点. 闭集： 若G 的聚点都属于G, 则称G为闭集. 边界点、边界: 设D是复平面内的一个区域,如果点P 的任意小的邻域内总有D中的点,这样的 P 点我们称为D的边界点. D的所有边界点组成 D 的边界. 说明 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的. 区域: 如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域. (1) D是一个开集； (2) D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来. 有界区域和无界区域: (1) 圆环域: 课堂练习 判断下列区域是否有界? (2) 上半平面: (3) 角形域: (4) 带形域: 答案 (1)有界; (2) (3) (4)无界. 例3 解 所以它的复数形式的参数方程为 平面上曲线可用复数形式的方程或不等式表示，反 之亦然. 例4 求下列方程所表示的曲线: 解 化简后得 2、单连通域与多连通域 连续曲线: 由复数方程: 那么 所确定的平面点集称为复平面上的连续曲线. 光滑曲线: 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线. 简单曲线: 没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔当曲线). 换句话说, 简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质: 任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成三个互不相交的点集. 内部 外部 边界 课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线? 答 案 简单 闭 简单 不闭 不简单 闭 不简单 不闭 单连通域与多连通域的定义: 复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域. 单连通域 多连通域 例5 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的. 解 无界的单连通域(如图). 是角形域, 无界的单连通域(如图). 无界的多连通域. 表示到1, –1的距离之和为定值4的点的轨迹, 是椭圆, 有界的单连通域. 例6 解 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通