复变函数12.pptVIP

1.球极射影 在点坐标是(x,y,u)的三维空间中， 把 xOy 面看作是z平面 。考虑球面S： A取定球面上一点N(0,0,1)称为球极。作连接N与XOY平面 上任意点A(x,y,0)的直线,与球面的交点为 则A称为A在球面上的球极射影。 由于A(x,y,0), A (x,y,u) ,N(0,0,1)三点共线，所以有 （x-0）:(y-0):(0-1)=( x-0):( y-0):( u-1)从而有 综合可得： 所以对应 ，建立一个复平面C 与单位球面S-{N}之间的一个1-1对应 。球极射影： §2 复平面的拓扑 4、初步概念 平面上以z0为中心,δ(任意的正数)为半径的 圆:|z- z0|δ内部的点的集合称为z0的邻域,记为 Ｕ(z0,δ);而称由不等式0|z- z0|δ所确定的点 集称为z0的去心邻域. 2)内点：对任意z0属于G，若存在Ｕ(z0 ,δ)，使该邻域内 的所有点都属于G，则称 z0 是G的内点。 3)开集、闭集: 如果 G 内的每个点都是它的内点, 则称 G 为开集。如果点集G 的余集为开集，则称G为闭集. 4)外点、聚点：设G为一平面点集， 若z0及其邻域不属于G,称 z0为G的外点； 若z0的任意邻域和E相交 都有无穷多个点， 则称z0为E的聚点（极限点）。 5) 边界点、孤立点： ，而另一部分 称点z0为E的边界点； E的全部边界点所组成的集 合称为E 的边界,记为 称为E 的闭包， 记为 若存在一个r0，使得 则称a为E的孤立点（是边界点但不是聚点）. 6）有界点集，无界点集：如果点 集E 以被包含在一个以原点 为中心的圆里面, 即存在正 数M, 使点集E的每个点z都 满足|z|M,则称E为有界区 域, 否则称为无界的。 7）有关例题： 例1、圆盘U(a,r)是有界开集；闭圆盘是有界闭集； 例2、集合{z||z-a|=r}是以a为心，r为半径的圆周，它是圆 盘U(a,r)和闭圆盘的边界。 例3、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。 例4、集合E={z|0|z-a|r}是去掉圆心的圆盘。圆心a边界 点，它是E边界的孤立点，同时也是集合E的聚点。 2. 区域和曲线： 1)区域：平面点集D称为一个区域,如果它满足下列两个条件: a) D是一个开集; b) D是连通的, 就是说D中任何两点都可以用完全属 于D的一条折线连接起来 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点 所组成的.区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作? D 满足不等式r1|z-z0|r2的所有点构成一个区域, 而 且是有界的, 区域的边界由两个圆周|z-z0|=r1和 |z-z0|=r2构成,称为圆环域. 如果在圆环域内去掉 一个(或几个)点, 它仍然构成区域, 只是区域的边 界由两个圆周和一个(或几个)孤立的点所构成 简单闭曲线的性质?约当定理 任意一条简单闭曲线C 把整个复平面唯一地分 成三个互不相交的点集, 其中除去C 外, 一个是有 界区域, 称为C 的内部, 另一个是无界区域, 称为C 的外部, C 为它们的公共边界. 简单闭曲线的这一 性质, 其几何直观意义是很清楚的. 3)光滑曲线、分段光滑曲线 如果令 这就是平面曲线的复数表示式. 如果在区间 a?t?b 上 x (t) 和 y (t) 都是连续的,且对于t 的每一个值,有[x (t)]2 + [y (t)]2 ? 0 这曲线称为光滑的，由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲 线,称为按段光滑曲线。 4)单连通域、多连通域 复平面上的一个区域D, 如果在其中任作一条简单闭曲线C, 而曲线C的内部总属于D, 则称区域D为单连通域，一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域。 在几何直观上，单连通区域是一个没有“空洞（点洞）和缝隙”的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线C所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域（如图）. 三、典型例题 例3 在扩充复平面上，集合 为单连通的无界区域，其边界为 而集合 为多连通