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例2. 讨论函数 3. 多元函数的极限 * 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 第九章 多元函数微分法 及其应用 第九章 一、平面点集 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 §9.1 多元函数的基本概念 一、 平面点集 1. 邻域 点集 称为点 P0 的?邻域. 例如,在平面上, (圆邻域) 在空间中, (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径? ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为 在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 。 方邻域与圆邻域可以互相包含. 注：设A,B 为数集,则A×B= 如 2. 区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)? E , ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ? , ? 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点 ; 则称 P 为 E 的边界点. 的外点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 必有下列关系之一成立 所有的边界点记为 ?E (2) 聚点 若对任意给定的? , 点P 的去心 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) D (3) 开区域及闭区域 ? 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； ? 若 ?E E, 则称 E 为闭集； ? 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , ? 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 则称 D 是连通的 ; ? 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 。 。 ? E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作?E ; 例如，在平面上 开区域 闭区域 ? ? ? ? ? 整个平面 ? 点集 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域； 但非区域 (为什么?). o ? 对区域 D , 若存在正数δ , 使一切点 P?D 与原点O 的距离 ?OP?＜δ , 则称 D 为有界域 . 否则称为无界域 . 即存在正数δ,使得 3. n 维空间 n 元有序数组 的全体称为 n 维空间, n 维空间中的每一个元素 称为空间中的 称为该点的第 k 个坐标 . 记作 即 一个点, 当所有坐标 称该元素为 中的零元, 记作 O . 的距离记作 中点 a 的 ? 邻域为 规定为 与零元 O 的距离为 二、多元函数的概念 引例: ? 圆柱体的体积 ? 理想气体的压强 ? 三角形面积的海伦公式 定义1. 设非空点集 点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 当 n = 3 时, 有三元函数 映射 称为定义 在 D 上的 n 元函数 , 记作 例如, 二元函数 定义域为 圆域 说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ? D 图形为中心在原点的上半球面. 的图形一般为空间曲面 ? . 三元函数 定义域为 图形为 空间中的超曲面. 单位闭球 三、多元函数的极限 定义2. 设 n 元函数 点 , 则称 A 为函数 (也称为 n 重极限) 当 n =2 时, 记 二元函数的极限可写作： P0 是 D 的聚 若存在常数 A , 对一 记作 都有 对任意正数 ? , 总存在正数? , 切 (称为 二重极限) 二 重极限的记号 二元函数的极限还可写作： 注: 极限A与 的方式无关 例1. 设 求证： 证: 所以 总有 令 ? 若当点 趋于不同值或有的极限不存在， 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 在点 (0, 0) 的极限. 则可以断定函数极限 则有 极限与k 有关 ! 在 (0,0) 点极限不存在 . 以不同方式趋于 不存在 . 函数 例3. 求 解: 因 则原式= 两点要求: (2)会证明二重极限不存在 (P63 6可利用求一元函数极限的方法,后面还要讲) (P63 7利用前面例2的方法) (1)会求二重极限 四、 多元函数的连续性 定义3 . 设 n 元函数 定义在 D 上, 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上 如果存在 否则称为不连续, 此时 称为间断点 . 则称 n 元函数 连续. 连续, 例如, 函数 在点(0 , 0) 极限不存在, 又如, 函数 上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点. 在圆周 结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.