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§2.2 收敛数列的性质 1、唯一性 2、有界性 3、保号性 4、保不等式性 5、四则运算 6、迫敛性 7、子数列的收敛性 葛巍巍 数学分析电子教案 定理2.2（唯一性） 定理2.2 每个收敛的数列只有一个极限. 证 由定义, 故收敛数列极限唯一. 定理2.3（有界性） 例如, 有界 无界 收敛的数列必定有界. 证 由定义, 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 例1 证 由定义, 区间长度为1. 不可能同时位于长度为1的区间内. 定理2.5（保不等式性） 定理 给定两个序列 } { n x ， } { n y ，若 n ， n n y x ￡ 且 a x n n = ￥ ? lim ， b y n n = ￥ ? lim ，则 b a ￡ . 从而 定理 2.5 （保不等式性）设 lim,lim, nn nn aabb ?￥?￥ == 若 ab ， 则存在 N 使得当 N n 时有 n n b a . 定理2.6 (收敛数列的保号性) 如果数列{xn}收敛于a, 且a?0(或a?0)? 那么存在正整数N? 当n?N时? 有xn?0(或xn?0)? 4 保号性 推论 如果数列{xn}从某项起有xn?0(或xn?0)? 且数列{xn}收敛于a? 那么a?0(或a?0)? 这说明若数列 收敛且极限不为零，则当n充分大时， 与0的距离不能任意小.这一事实在后面讨论极限的四则运算时会用到. 证 定理2.6迫敛性 上两式同时成立, 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 例1 解 由夹逼定理得 7数列极限的四则运算法则 定理2.8 设有数列{xn}和{yn}? 如果 那么 例4 求 例4 求 解： 分 a=1， |a|1， |a|1 三种情况 解：（分子有理化） 例3 求 定理2.8子数列的收敛性 注意： 例如， 收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同． 证 证毕． 例4 对于数列xn 证 此时有 此时有 总之： 恒有 Th ( 数列收敛充要条件 ) { } 收敛 { Th ( 数列收敛充要条件 ) { } 收敛 子列 { } 和 { 收敛于同一极限. } 的任何子列收敛 于同一极限. } Th ( 数列收敛充要条件 ) { } 收敛 子列 { }、{ } 都收敛. 和 { 思考题 证明 要使 只要使 从而由 得 取 当 时，必有 成立 思考题解答 ~ （等价） 证明中所采用的 实际上就是不等式 即证明中没有采用“适当放大” 的值 从而 时， 仅有 成立， 但不是 的充分条件． 反而缩小为 小结 (1), 唯一性; (2), 有界性; (3), 保号性; (4), 四则运算法则; (5), 不等式性; (6), 收敛数列与其子列的关系. * *