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导数与微分 第二节 例3. 讨论函数 3. 多元函数的极限 备用题 1 . 3. 证明 ? 若当点 函数趋于不同值或有的极限不存在， 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 在点 (0, 0) 的极限. 则可以断定函数极限 则有 k 值不同极限不同 ! 在 (0,0) 点极限不存在 . 以不同方式趋于 时， 例4. 求 解: 因 而 此函数定义域 不包括 x , y 轴 则 故 四、 多元函数的连续性 定义3 . 设 n 元函数 定义在 D 上, 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续. 如果存在 否则称为不连续, 此时 称为间断点 . 则称 n 元函数 连续, 例如, 函数 在点(0 , 0) 极限不存在, 又如, 函数 上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点. 在圆周 结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续. 定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则 * (4) f (P) 必在D 上一致连续 . 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ; (3) 对任意 (有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: (证明略) 解: 原式 例5.求 例6. 求函数 的连续域. 解: 内容小结 1. 区域 邻域 : 区域 连通的开集 2. 多元函数概念 n 元函数 常用 二元函数 (图形一般为空间曲面) 三元函数 有 4. 多元函数的连续性 1) 函数 2) 闭域上的多元连续函数的性质: 有界定理 ; 最值定理 ; 介值定理 3) 一切多元初等函数在定义区域内连续 P11 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8 P72 题 3; 4 思考与练习 解答提示: P11 题 2. 称为二次齐次函数 . P11 题 4. P11 题 5(3). 定义域 P11 题 5(5). 定义域 P12 题 8. 间断点集 P72 题 3. 定义域 P72 题 4. 令 y= k x ， 若令 , 则 可见极限 不存在 1. 设 求 解法1 令 * 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分法 及其应用 Longlan_sophiey@163.com 一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 多元函数的基本概念 一、 区域 1. 邻域 点集 称为点 P0 的?邻域. 例如,在平面上, (圆邻域) 在空间中, (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径? , 点 P0 的去心邻域记为： 也可以写成： 二元函数的定义域 2. 区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)? E , ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ? , 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点 ; ? 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点 则称 P 为 E 的边界点 . 也含E的外点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . (2) 聚点 若对任意给定的? , 点P 的去心领域 内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点） 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 . D (3) 开区域及闭区域 ? 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； ? 若点集 E ??E , 则称 E 为闭集； ? 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的 ? 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 则称 D 是连通的 ; ? 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 。 。 ? E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作?E ; 折线相连 , 例如，在平面上 开区域 闭区域 ? ? ? ? ? 整个平面 ? 点集 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域； 但非区域 . o ? 对区域 D , 的距离 ?AP?? K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无界域. 若存在正数 K , 使一切点 P?D 与某定点 A 3. n 维空间 n 元有序数组 的全体称为 n 维空间, n 维空间中的每一个元素 称为空间中的一个点， 称为该点的第 k 个坐标 . 记作: 即: 数 当所有坐标 时， 称该元素为 中的零元, 记作： O . 的距离记