()孤立奇点.pptVIP

回顾奇点的定义: The singular point 函数不解析的点称为该函数的奇点. 严格来说:函数在某一点处不解析,但在这一点的每个邻域内都有解析点. 举例: Example. Example. Example. Note.该定理可由定理1与定理4得到证明. Example. 5.函数在无穷远点的性态 Example. Exercise. Theorem1的充分性可由第二个定义证得,必要性可由上一叶的分析过程可证得./P183.T5在复变意义下的罗必达法则! 充分性可利用解析的充要条件即函数在该点的邻域内可以展开成幂级数来证得. Think about it !!! 分析两个定义:可去奇点即可以通过定义函数在该点的值而去掉其奇异性. (1)Zero (2)利用函数在这一点处的连续性说明可以找到该点的某个邻域函数是恒不等于零的,从而可得结论. 第四个函数的奇点中零是非孤立奇点,而其余的是孤立奇点. * NUDT * 回顾泰勒展开与洛朗展开 定理（Laurent）设 在圆环域 内解析,则 对 有 其中 为圆环域 内绕 的任何一条正向简单闭曲线. 定理（Taylor) 设函数 在圆盘 内解析，则 *公式法 *间接展开法 *公式法 *间接展开法 练 习 题 Exercise2. 练 习 题 设 在圆环域 内解析，且在 内有洛朗展开式 则有 或 §4 洛朗级数 洛朗展开式的重要应用: 利用洛朗展开式求积分 Note2. 实际上为第五章的留数定义以及计算做铺垫. Note1. 关键在于确定奇点以及函数的解析圆环域. 例题与习题 Example1. Example2. Exercise. ——高阶导数公式 ——利用洛朗级数系数 ——利用洛朗级数系数 ——利用洛朗级数系数 习 题 Exercise. 第五章 留数 §1 孤立奇点 §2 留数 §3 留数在求定积分中的应用 §1 孤立奇点 §1 孤立奇点 定义 若函数 在 处不解析，但存在 使 在 内解析，则称 为 的孤立奇点. 奇点的分类——孤立奇点、非孤立奇点、 §1 孤立奇点 即 在 内解析，则有洛朗级数 主要部分 解析部分 孤立奇点的分类——可去奇点、极点、本性奇点 定义 若函数 在 处不解析，但在 的某个去心邻域内处处解析，则称 为 的孤立奇点. 假设 是函数 的孤立奇点, §1 孤立奇点 设 为 的孤立奇点，且有洛朗展开式 1.可去奇点 若 ，则称 为 的可去奇点. 若 是 的孤立奇点，如果可以补充定义 在 的值使得 在 的某个邻域内解析,则称 为 的可去奇点. 定理1 设 为 的孤立奇点，则 为 的可去奇点的充要条件是极限 存在. §1 孤立奇点 I由定义来判断. II由定理1来判断. §1 孤立奇点 2.极点 若存在正整数 使 ，但 则称 为 的 级极点. 定理2 设 为 的孤立奇点，则 为 的 级极点 的充要条件是 §1 孤立奇点 定理3 设 为 的孤立奇点，则 为 的 级极点 的充要条件是极限 存在且不等于零. 定理4 设 为 的孤立奇点，则 为 的极点的充要条件是 . 定理2 设 为 的孤立奇点，则 为 的 级极点 的充要条件是 例 题 (a) apply the definition to show that (b) Use Theorem3 to show that Observe that the function has a simple pole (m=1) at . 若存在无穷多个正整数 使 ，则称 为 的本性奇点. §1 孤立奇点 3.本性奇点 定理5 设 为 的孤立奇点，则 为 的本性奇点的充要条件是 不存在. Example. §1 孤立奇点 4.函数的零点与极点的关系 若不恒等于零的解析函数 可表示成 其中 在 处解析且 ， 为正整数，则称 为 的 级零点. 性质 若 在 处解析，则 为 的 级零点的充要条件是 Note.当