多元函数的极限与连续性-.pptVIP

2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 多元函数的极限与连续性 二重极限 累次极限 请注意: (i) 定理 2 保证了在重极限与一个累次 极限都存在时, 它们必相等. 但对另一个累次极限的 存在性却得不出什么结论 (ii) 推论 1 给出了累次极限次序可交换的一个充分 条件. (iii) 推论 2 可被用来否定重极限的存在性(如例8 ). 例10 设 试证明: 证 根据柯西准则, 证得 利用条件 (ii) 与结论 , 又有 这就证得 注 本例给出了二累次极限相等的又一充分条件. 与 定理16. 6 的推论1 相比较, 在这里的条件 (i) 与 (ii) 成立时, 重极限 未必存在. 复习思考题 试问累次极限 是否就是动点 不存在. 观察 观察 不存在. * * 与一元函数的极限相类似， 二元函数的极限 同样是二元函数微积分的基础. 但因自变量个数 的增多, 导致多元函数的极限有重极限与累次极 限两种形式, 而累次极限是一元函数情形下所不 会出现的. 返回 一、二重极限 定义1 设二元函数 定义在 上, 为 D 的 一个聚点, A 是一实数. 若 使得当 时, 都有 则称 在 D 上当 时以 A 为极限, 记作 当 P, 分别用坐标 表示时, 上式也 常写作 例1 依定义验证 证 因为 简记为 不妨先限制在点(2, 1)的方邻域 内来讨论, 于是有 当 时, 就有 这就证得 所以 例2 设 证明　 证　(证法一) 可知 故　 注意 不要把上面的估计式错写成： 因为　 　的过程只要求 即 而并不要求 (证法二) 作极坐标变换 这时 等价于 ( 对任何 ). 由于 因此， 对任何 都有 下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归 结原则(而且证明方法也相类似). 定理1 的充要条件是：对于 D 的 任一子集 E,只要 　仍是 E 的聚点,就有 推论1 若 , P0 是 E1 的聚点, 使 不存在, 则 也不存在． 推论2 若 是它们的聚点，使得 都存在，但 , 则 不存在． 推论3 极限 存在的充要条件是：D 中任 一满足条件 它所 对应的函数列 都收敛． 下面三个例子是它们的应用． 例3 讨论　 　当　 时是否 存在极限．( 注: 本题结论很重要, 以后常会用到. ) 解 当动点 (x, y) 沿着直线 而趋于定点 (0, 0) 时，由于　 , 因此有 这说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时, 对应 的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在． 如图 16-15 所示, 当 (x, y) 沿任何直线趋于原点时, 相应的 都趋于 0, 但这并不表明此函数在 时的极限为 0. 因为当 (x, y) 沿抛物线 　 趋于点 O 时, 将趋于1. 所 以极限 不存在. 例5 讨论 在 　 　 时不 存在极限． 解 利用定理 1的推论 2, 需要找出两条路径, 沿 着此二路径而使 　 　时, 得到两个相异 的极限． 第一条路径简单地取 此时有 第二条路径可考虑能使 的分子与 分母化为同阶的无穷小, 导致极限不为 0. 按此思路 的一种有效选择, 是取 此时得到 这就达到了预期的目的． ( 非正常极限 ) 的定义． 定义2 设 D 为二元函数　f　的定义域， 是 D 的一个聚点. 若 使得 则称 f　在 D 上当 时, 有非正常极限 , 记作 下面再给出当 时, 或 仿此可类似地定义： 例6 设 . 证明 证 此函数的图象见后面的图. 因 , 故对 只需取 这就证得结果． 二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿, 特 同, 这里不再一一叙述. 看作点函数 别把 时, 相应的证法也相 不存在. 观察 播放 二、累次极限 是以任何方式趋于 这种极限也称为重 极限. 下面要考察 x 与 y 依一定的先后顺序, 相继趋 在上面讨论的 中, 自变量 于 与 时 f 的极限, 这种极限称为累次极限. 定义3 如果进一步还存在极限 累次极限, 记作 则称此 L 为 先对 后对 的 它一般与 y 有关, 记作 类似地可以定义先对 y 后对 x 的累次极限: 注 累次极限与重极限是两个不同的概念, 两者之间 没有