5.10解斜三角形及应用举例(二）.ppt

二、例 题 解 析： 例1 如图，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，试求AB的长. 分析：如图所示：对于AB求解，可以在△ABC中或者是△ABD中求解，若在△ABC中，由∠ACB＝α－β，故需求出AC、BC，再利用余弦定理求解.而AC可在△ACD内利用正弦定理求解，BC可在△BCD内由正弦定理求解. 例2 据气象台预报，距S岛300 ｋｍ的A处有一台风中心形成，并以每小时30　ｋｍ的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 ｋｍ以内的地区将受到台风的影响.问：S岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由. 分析：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化.S岛是否受台风影响可转化为SB≤27O这一不等式是否有解的判断，则需表 示SB，可设台风中心经过ｔ 小时到达B点，则在△ABS中， 由余弦定理可求SB. 所以从现在起，经过5－ 小时S岛开始受到影响，(5 ＋ )小时后影响结束. 持续时间：(5＋ )－（5－ ）＝2 小时. 例3 如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值. 分析：要求四边形OPDC面积的最大值， 这首先需要建立一个面积函数，问题 是选谁作为自变量，注意到动点P在 半圆上运动与∠POB大小变化之间的 联系，自然引入∠POB＝θ作为自变量建立函数关系.四边形OPDC可以分成△OPC与等边△PDC，Ｓ△OPC可用 ·OP·OC·sinθ表示，而等边△PDC的面积关键在于边长求解，而边长PC可以在△POC中利用余弦定理表示，至于面积最值的获得，则通过三角函数知识解决. 3. 如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处( －1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10 海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜. 问：辑私船沿什么方向行驶才能最 快截获走私船?并求出所需时间. 小 结 进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力. * 解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法。 应用举例(二） * 正弦定理： 余弦定理： 三角形边与角的关系： 2大角对大边，小角对小边 。 一、复 习 引 入： 斜三角形的解法 一般解法 定理选用 已知条件 用正弦定理求出另一对角,再由A+B+C=180?，得出第三角,然后用正弦定理求出第三边。 正弦定理 余弦定理 正弦定理 余弦定理 由A+B+C=180?,求出另一角，再用正弦定理求出两边。 用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由A+B+C=180?得出第三角。 用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180?得出第三角。 一边和两角 (ASA或AAS) 两边和夹角(SAS) 三边(SSS) 两边和其中一 边的对角(SSA) 解：在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝α，∠ADC＝δ， 由正弦定理得 AC＝ 在△BCD中，由正弦定理得 BC＝ 在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝α－β， 所以用余弦定理, 就可以求得 AB＝ 解：设台风中心经过ｔ小时到达B点， 由题意，∠SAB＝9O°－3O°＝6O° 在△SAB中，SA＝3OO，AB＝3Oｔ， ∠SAB＝6O°， 由余弦定理得： SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cosSAB ＝3OO2＋（3Oｔ）2－2·3OO·3Otcos6O° 若S岛受到台风影响，则应满足条件 ｜SB｜≤27O 即SB2≤27O2 化简整理得 ｔ2－1Oｔ＋19≤O ≤ｔ≤5＋ 解之得 5－ 答：S岛受到台风影响，从现在起，经过（5－ ）小时， 台风开始影响S岛，且持续时间为2 小时. 解：设∠POB＝θ，四边形面积为ｙ，则在△POC中， 由余弦定理得： PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ ＝2sin