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第四章 谓词逻辑 第一节 谓词逻辑概述 命题逻辑和谓词逻辑 命题逻辑：不分析简单命题内部结构，讨论关于联结词的推理理论。例如： 如果某甲作案，那么他一定有作案动机。 某甲没有作案动机。 所以，某甲没有作案。 谓词逻辑：分析简单命题的内部结构，讨论关于量词的推理理论。例如： 所有的作案者都有作案动机。 某甲没有作案动机。 所以，某甲不是作案者。 命题逻辑和谓词逻辑 研究推理形式的有效性时，把命题当做不可分的逻辑单位有时是不够的。例如： （1）张三的朋友都是李四的朋友，王五不是李四的朋友。所以，王五不是张三的朋友。 这个推理的形式在命题逻辑中表示为：P，?q├ ?r 这个推理事实上是有效的。但仅用命题逻辑的理论不能表明它是有效的推理。 （2）所有人都会死，张三是人，所以，张三会死。 这是一个正确的三段论推理。但仅用命题逻辑的理论也不能表明它是有效推理。 因此，要研究涉及量词的推理，仅用命题逻辑的理论是不够的。只有在命题逻辑的基础上发展谓词逻辑，才能解决这类推理的有效性问题。 个体词和谓词 谓词逻辑就是把命题分解为个体词、谓词、量词以及联结词的逻辑系统。例如： （3）我是学生。 （4）王五不是李四的朋友。 个体词：表示个体的语词，如：“我”、“王五” 、“李四”。 谓词：用来说明个体词的性质或关系的语词。 如例（3）中“是学生”是一元谓词，例（4）“…是…的朋友”是二元谓词。类似的，还有三元谓词，如“…在…和…之间”以及n元谓词。 个体词和谓词的符号化 个体常项：表示一定范围内确定的个体，记为小写的：a,b,c,…； 个体变元：表示一定范围内不确定的个体，记为小写的： x,y,z,…； 个体域也称论域：个体变元的变化范围，记为：D。 谓词符号：表示性质或关系的符号，记为大写：D、E、F、G…； 一元谓词公式，记为：Dx，Ex，Fx，…； 二元谓词公式，记为：Dxy，Exy，Hxy，Rxy，…； 三元谓词公式，记为：Gxyz，Bxyz，Pxyz，Kxyz，…； n元谓词公式，记为：Sx1x2…xn，Wx1x2…xn，…。 个体词和谓词的符号化实例: 用a表示“张三”，用Dx表示一元谓词“会死” ，则命题“张三会死”可表示为：Da。 如是Fxy表示二元谓词“…是…的朋友”，那么：Fab表示“a是b的朋友”;?Fab表示“a不是b的朋友”。 开语句 P：…是紫色的。 Px：x是紫色的。 让开语句有真值的方法： （1）用个体常项代替个体变元。 用a表示“这朵玫瑰花”，则Pa表示语句“这朵玫瑰花是紫色的”。 （2）对个体变元进行量化。 例如:命题“存在玫瑰花是紫色的”为真。 量词 全称量词：指称论域D中个体的全部。 例如：所有，任何，每一个，…。 存在量词：指称论域D中个体至少有一个存在。 例如：存在，有，有些，…。 符号化的量词： 全称量词：所有x，任何x，…，均记为：?x。 存在量词：有x，存在x，…，均记为：?x。 全称命题：含有全称量词的命题。 特称(存在)命题：含有存在量词的命题。 命题的形式化 （1）凡事物都是发展的。 用x表示个体词，用D表示“是发展的”，形式化为：?xDx （2）凡是自然数都大于零。 用N表示“是自然数”，用E表示“大于零”，形式化为：?x(Nx?Ex） （3）所有大学生都不是儿童。 用S表示“是大学生”，用C表示“是儿童”，形式化为：?x(Sx??Cx) （4）有的大学生是儿童：?x(Sｘ∧Cｘ) （5）小李没有同任何人吵架。 a：小李；Ｍ：…是人，D：…同…吵架，形式化为：?x（Ｍx→?Ｄax） （6）有些大一学生认识小李。 a：小李；F ：…是大一学生，R：…认识…，形式化为： ?x(Fx∧Rxa) 命题的形式化 在对以上命题形式化时，没有限制论域，即论域是全域。我们也可在一定的范围内讨论问题，因些个体变元的变域往往被限制在某个特定的范围内。 （7）有的学生（Ｓ）作对（Ｒ）所有试题（Ｔ） 不限制论域：?x（Ｓx∧?y(Ty→Rxy)） 限制论域：x的变域:X=学生； y的变域:Y=试题 则形式为: ?x?yRxy 一阶逻辑：量词是只对命题中的个体变元进行量化，而不对谓词变元进行量化。 高阶谓词：不仅对个体变元而且对谓词变元进行量化。 第四章 谓词逻辑 第二节 一阶语言及其语义解释 一阶语言L （1）初始符号 个体变元符号：x,y,z,…；x1,x2,…； 若干（可以为0个）个体常项符号：a,b,c… 若干（至少一个）谓词符号：D,E,F,G,R，… 联结词符号：?,∧,∨,→； 量词符号