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第2章 工业过程数学模型 过程特性的数学描述称为过程的数学模型。 在控制系统的分析和设计中，过程的数学模型是极为重要的基础资料。 过程的特性可从稳态和动态两方面来考察，前者指的是过程在输入和输出变量达到平稳状态下的行为，后者指的是输出变量和状态变量在输入影响下的变化过程的情况。可以认为，动态特性是在稳态特性基础上的发展，稳态特性是动态特性达到平稳状态的特例。 2.1 工业过程稳态数学模型 从生产控制的角度来看，在被控变量与操纵变量的选择、检测点位置的选择、控制算法设计、操作优化控制的设计等方面，无不需要稳态数学模型的知识。 在不少情况下，必须同时掌握过程的动态特性，需要把稳态和动态的考虑结合起来，然而，象操作优化这样一个极富有经济价值的控制命题，主要就依靠稳态数学模型。 模型的建立途径可分机理建模与实验测试两大类，也可将两者结合起来。 2.1.1机理建模 从机理出发，也就是从过程内在的物理和化学规律出发，建立稳态数学模型 最常用的是解析法和仿真方法 解析法适用于原始方程比较简单的场合。这里又分两类: 一是求输入变量作小范围变化的影响，通常采用增量化处理方法； 二是求输入变量作大范围变化时的影响，这通常需要逐步求解，如采用数值方法或试差方法，则与仿真求解无甚区别了。 2.1.2 经验模型 通过测试或依据积累的操作数据，用数学方法回归，得出经验模型。 经验模型的建立通常要经过下列步骤： 确定输入变量与输出变量。输入变量是经验方程式中的自变量，输出变量是因变量。自变量的数目不宜太多。 进行测试。理论上有很多实验设计方法，如正交设计等。在实施上可能会遇到选取变化区域困难。有一种解决办法是吸收调优操作的经验，即逐步向更好的操作点移动，这样有可能一举两得，既扩大了测试的区间，又改进了工艺操作。测试中要确定稳态是否真正建立 。 把数据进行回归分析或神经网络建模。 检验。分为自身与交叉检验。 2.2.1 动态数学模型的作用和要求 过程的动态数学模型，是表示输出变量与输入变量间动态关系的数学描述。从控制系统的角度来看，操纵变量和扰动变量都属于输入变量，被控变量属于输出变量。 过程动态数学模型的用途大体可分为两个方面： 一是用于各类自动控制系统的分析和设计； 二是用于工艺设计以及操作条件的分析和确定。 2.2.2 动态数学模型的类型 （3）开环与闭环辨识 目前一般常用辨识方法是在开环条件下进行的。 开环辨识对一些实验装置与小型装置实施是方便的，而对工业生产装置、特别是大型装置施行开环辨识，必然破坏生产的正常进行，被控变量长时间偏离设定值，一般生产单位是不希望的；被辨识过程是更大的复杂过程的一部分，无法除去反馈。 有人总结出在控制器有噪声源或有外部输出信号等非常一般化的结构下，闭环可辨识的实验条件： （1）在控制器输出端施加外部信号。 （2）在控制器输入端施加外部信号。 （3）改变线性反馈规律如控制器的放大系数。 对于单输入单输出离散随机系统，数学仿真结果表明，在控制器输出端施加准随机二位信号的实验条件是适宜于工业生产过程应用的闭环辨识实验条件。按此实验条件进行闭环辨识可以得到精度与开环辨识相近的过程模型。 2.2.4 工业过程动态机理模型 1 动态数学模型的一般列写方法 从机理出发，用理论的方法得到过程动态数学模型，其主要依据是物料平衡和能量平衡关系式 ： 单位时间内进入系统的物料量（或能量）-单位时间内由系统流出的物料量（或能量）=系统内物料（或能量）蓄藏量的变化率 为了找到输出变量y与输入变量u之间的关系，必须设法消除原始微分方程中的中间变量，常常要用到相平衡关系式，用到传热、传质及化学反应速率关系式等。 在建立过程动态数学模型时，输出变量y与输入变量u可用三种不同形式，即可绝对值Y和U表示，用增量⊿Y和⊿U表示，用无因次形式的y和u表示。 在控制理论中，增量形式得到广泛的应用。它不仅便于把原来非线性的系统线性化，而且通过坐标的移动，把工作点作为原点，使输出输入关系更加清晰，且便于运算；另外，在控制理论中普遍应用的传递函数，就是在初始条件为零的条件下定义的，采用增量形式可以方便地求得传递函数。 例1-3 双容水槽 R1、R2：代表线性化水阻 Q、H和μ：均以各个量的稳态值为起算点。 其中： 过程控制系统 第三讲 例1-3 双容水槽 上述式子消元整理后，可得： 其中： 过程控制系统 第三讲 例1-3 双容水槽 上述式子消元H1整理后，可得： 注意：上式为一个二阶微分方程，这是被控对象中含有两个串联容积的反映。其阶跃响应不是指数曲线，而是呈S形。 过程控制系统 第三讲 例1-3 双容水槽 过程控制系统 第三讲 例1-3 双容水槽 双容水槽和单容水槽的阶跃响应在起始阶段有很大区别。 原因：在调节阀突然开大后的瞬间，水位H1