线性代数答案课件.ppt

3、已知一个变化着的圆的直径，试写出它的 面积 。 上页 下页 * Linear Algebra Exordium 线性代数 绪论 这节课我们主要解决以下三个问题： 1、什么是线性代数？ 2、为什么要学线性代数？ 3、怎么做才能学好线性代数？ 一、什么是线性代数？ （一）线性 线性linear，指量与量之间按比例、成直线的关系 线性就是一次，只有数乘和加减 线性就是变量都是一次的，没有变量之间的乘法 一元线性函数在平面直角坐标系中的关系描述为一条直线，所以把这种函数形象地称为“线性”函数，显然，过原点的直线是最简单的线性函数。 对于线性问题，将含变量的项放在等式的一端，不 含变量的项放在另一端；若不含变量的项为零，则 称为齐次线性问题，否则，称为非齐次线性问题。 非齐次线性 非线性 非齐次线性 齐次线性 非线性 线性代数研究的都是线性问题（加法和数乘） 代数学的英文名称是algebra，是9世纪阿拉伯 数学家花拉子米的一部著作的名称。原意是“还原 与对消的科学”。什么叫做对消，大家知道的有正 负对消，就是解方程时所谓的移项，所谓还原，就 是把本来淹没在方程中的x把它暴露出来，还原了 x的本来面目，所以方程是和代数紧密联系的，所 以我们一说到代数，就会联系到解方程。 “代数”这一词在我国出现较晚，在清代时才传 入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859 年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译 成为“代数学”，一直沿用至今。 （二）代数 请大家尝试做如下三件事： 1、试用等式一般地表示加法交律 2、试用算式直接表示：5 加上什么数等于3； 实际问题向“表示数的数字”提出了挑战。 要表示任意的数、未知（待求）的数、变化 的数，数字就无能为力了。因为它们只能表示单 个的数、已知的数、固定的数。 于是人们被迫用文字词汇、用问号“？”表示数。 但这样既零乱又难写，于是人们希望用统一 的、简单好写的符号表示这些数。 于是想到字母…… 没想到这个小小的无奈之举，竟然是种瓜得豆: 先是须研究代数式（从而导致代数学） 进而有代换、迭代（字母代式），有变化、 联系（函数的研究）， 进一步是整个数学的符号化、抽象化、形式化 最后，再拓展字母所代表的事物： 图形、集合、法则…… 直到抽象的元素，使数学高速发展。 可见，由小小的“字母代数”这个举措，及由 它的发展形成的“代数思想”，实在是太重要了。 所以说人类记数的高级阶段是用字母表示数。 用文字代表数，即设某量为x这样的做法, 只 是运用代数方法的第一步。它后面进一步的是“式” 的运算，有“式”参与运算就是代数。 代数是用抽象的字母代替具体的数字进行运算 分析，因此，抽象是代数的特点，学好代数可以发 展抽象化形式化的思想和运用数学符号运算推理的 能力。 历史上《线性代数》的第一个问题是关于解线 性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成 了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展， 这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最 初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是 实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。 另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的 要求也促使了《线性代数》的进一步发展。 （一）线性方程组： 求解线性方程组是数学问题中最重要的问题， 超过75 %的科学研究和工程应用中的数学问题，在 某个阶段都涉及线性方程组的求解。 早在公元2世纪之前，我国的《九章算术》一 书中就有介绍线性方程组的章节“方程章”。书中的 方程组是用算筹布列的，可以看作最古老的矩阵。 书中的解法与现在的加减消元法相仿。这是人类历 史上最早出现的线性方程组。 二、为什么要学线性代数： 例1：求解线性方程组 （1） 利用消去法来求解： 第二个方程减去第一个方程乘以2后， 原方程组变为： 线性方程组的求解我们在中学甚至小学就已 经开始学习，可能大家觉得是一件非常简单的事 情。没什么值得再研究学习的，是这样的吗？ 由第二个方程可直接得到： 将其代入第一个方程可得： 将方程组(1)中第二个方程中的第二个未知量 的系数改为4，可得到下述方程组： （2） 用相同的处理方法可得到： 则该方程组的解可取作： …… 该方程组有无穷多的解； 再将方程组（2）的第二个方程右端项的6改为4， 即： （3） 还用相同的处理方法可得： 无解 将方程组（3）的第二个方程右端项的4改为 不等于6的任意常数a （代数化） , 即： （4） 还用相同的处理方法可得： 两个未知量不论怎么取值，方程组都不可能成立， 即