第五章数值微积分课件.pptVIP

通知 数值分析上机考试时间改为 2010年1月6日(第18周周三)上午10:05-11:05 共60分钟 在图文信息中心3号机房 引子 定积分计算：用原函数(不定积分) 无法找到原函数F(x) 怎么办？ 第五章 数值微积分 §5.1 数值积分公式 §5.2 数值积分的余项 §5.3 复化求积法与步长的选取 §5.4 数值微分法 §5.1 数值积分公式 机械求积 Newton-Cotes公式 代数精度 Gauss求积公式 1. 机械求积 原理：定积分——曲边梯形的面积 理论基础：积分中值定理 f(? )=? 矩形公式与梯形公式 左矩形 右矩形 中矩形 梯形 机械求积一般公式 问题 适当取求积节点 和求积系数 A0, …, An，计算函数值 f(x0),…, f(xn), 近似解 误差 T(f ) - Q(f ) 2. Newton-Cotes公式 插值型求积公式: P(x)是f(x)的一个插值函数(linear, Lagrange, Hermite, spline等) Newton-Cotes公式: 采用等距节点Lagrange插值 低阶Newton-Cotes公式 梯形公式 (n=1) Simpson公式 (n=2) Cotes公式 (n=4) 数值稳定性: n8时，Cotes系数非负 3 代数精度 定义： 若机械求积公式 对所有幂函数f(x)=1,x,x2…xm准确，则称它具有m次代数精度。 性质：若具有m次代数精度， 则对所有次数不超过m次的多项式准确。 代数精度：梯形公式 (n=1)1次， Simpson公式 (n=2)3次，Cotes公式 (n=4)5次。 n为奇数时，n阶Newton-Cotes公式的代数精度为n； n为偶数时，n阶Newton-Cotes公式的代数精度为n+1。 用代数精度构造插值公式 例题 求A1, A2及x2，使求积公式 代数精度尽量高． 解： 得???? A1=1/4, A2 =3/4，x2 =2/3 ????? 4 Gauss求积公式 考虑将节点也视为待定参数，此时机械求积公式 的待定参数达2n+2个，从而可期望代数精度达到2n+1，称此类高精度的求积公式为Gauss公式，而对应节点称为Gauss点。 一点Gauss (n=0) (中矩形公式) [-1,1]上的两点Gauss公式 [-1,1]上的Gauss点 n次Legendre多项式 定理5.1 [-1,1]上n阶Gauss点恰为n次Legendre多项式的根。 一般区间[a,b]上的积分 变换到[-1,1] 一般区间[a,b]上的两点Gauss公式 §5.2数值积分的余项 引理5. 1 （积分中值定理）若f(x), g(x)均在[a,b]上连续且不变号,则存在??[a,b] 使 左矩形公式余项(证明: 用Taylor公式) 中矩形公式余项(证明: 用Taylor公式) 低阶情形 梯形公式余项(证明: 用积分中值定理) Simpson公式余项(证明: 用积分中值定理+Hermite插值) 一般情况 Newton-Cotes系列公式余项 Gauss系列公式余项 §5.3 复化求积法与步长的选取 复化求积原理 定步长梯形法 定步长Simpson法 P119 例5.13(Simpson法精度高) 变步长梯形法 递推关系 逐级计算而在增加新节点时, 不浪费原先的计算量, 并且可由|T2n(f)? Tn(f)|?? 控制计算精度。 Romberg公式 自适应步长法 根据被积函数的陡缓自动选择局部步长 考虑某区间[ak,bk], 记hk= bk? ak, 从[a, b]开始按?=|0.1(S2-S1)|? ? 检查精度?，若满足精度则以S2为计算结果，否则分成两个小区间各自重复逐步上述过程，每个小区间精度用?/2。这样重复下去，直至每个分段部分达到相应精度（步长为h=(b-a)/2k时精度?/2k） 不同段的步长可能是不一样的，积分结果为每一小段积分的总和。 例5 .15 §5.4 数值微分法 1 差商法 向前差商公式 向后差商公式 中心差商公式 差商公式比较 插值型求导公式 两点公式与三点公式 * Cotes系数Ci (仅依赖于 n, i) 变量代换x=a+th 5 5/9，8/9，5/9 2 3 1，1 1 1 2 0 0 代数精度 求积系数 Gauss点 n 2阶收敛性 4阶收敛性 xi-1 xi xi-1/2 由|R2n(f)