第5章：分形2012课件.pptVIP

第 5 章 教学重点 重点掌握几个内容： 自然界分形现象 分形与多尺度系统 从拓扑维到分数维 规则分形、不规则分形 分形的应用领域及哲学思想 5.1 从欧氏几何到分形几何 两千多年前，希腊数学家欧几里得创立几何学——欧氏几何 研究空间图形的形状、大小和位置的相互关系 欧氏空间维数n表示空间的维数 n＝0,1,2,3分别对应点、线段、平面、空间几何体所需要的空间维数 5.1 从欧氏几何到分形几何 长度、面积和体积的量纲分别是长度单位的1,2,3次方，恰好与图形所在的欧氏空间维数相等 总结欧氏几何对规则几何图形的测量，可用下式表示 长度= l , 面积A=al2 , 体积V=bl3 5.1 从欧氏几何到分形几何 自然界中的分形 5.1 从欧氏几何到分形几何 1967年，美国IBM数学家曼德布罗特研究了“英国海岸线究竟有多长”这个数学难题，建立了海岸线模型，在计算机上生成了海岸线的分形图形 1973年，曼德布罗特首先提出分维和分形的设想 分形的三个特点： 从整体上看处处不规则 在不同尺度上的规则性又是相同的，即局部形状和整体形态有自相似性 无特征尺度和标度 5.1 从欧氏几何到分形几何 5.1 从欧氏几何到分形几何 擅长描述自然界普遍存在的非规则景物 分形几何的图形具有自相似性和递归性，适合于计算机迭代生成 运用分形几何对复杂系统进行建模 5.2 分形现象与多尺度系统 规则的人造物体，可以用欧氏几何中的直线、面、圆、圆锥、球等表示 自然界许多景物具有自相似性的性质 研究这些具有自相似性结构的几何形体引进了分形的概念——组成部分以某种方式与整体相似的形体 5.2 分形现象与多尺度系统 特征尺度——某一事物在空间或时间方面具有特定的数量级 从漩涡套漩涡的现象看，这类现象发生在不同的尺度范围上，有时尽管相差9个数量级，但不能将其中的某个漩涡取出来 将尺度相差好几个数量级的系统称为多尺度系统，又称为无特征尺度系统 5.2 分形现象与多尺度系统 5.2 分形现象与多尺度系统 海岸线不断生成下去，不断缩小尺子长度继续测量，得出如下结论：尺子的长度r越小，测量出的海岸线长度L就越长。 若设海岸线的长度L和尺子r之间的关系为 L = rμ= N · r N为海岸线中的段数 有 n=1,2,…. 对上式两边取对数得 求出 其中，无理数 称为海岸线的分数维 5.3 从拓扑维到分数维 欧氏空间中，一个几何对象的维数等于确定其中一个点的位置所需要的独立坐标数目。这样定义的维数称为欧氏维数，又称为拓扑维数，简称拓扑维 欧氏空间中，直线或曲线的拓扑维数为1，平面图形的拓扑维数2，空间图形的拓扑维数3 拓扑维的一般测算方法： 5.3 从拓扑维到分数维 拓扑维的两个特点： 拓扑维数d为整数 盒子数N(r)随尺子r变小而不断增大，但几何对象的总长度（总面积，总体积）不变 将拓扑维数的定义推广到分数维，一要突破d必须是整数的限制，二是对上式取极限，记为 5.4 规则分形 5.4 规则分形 5.4 规则分形 5.4 规则分形 5.4 规则分形 5.5 不规则分形 随机分形 将生成过程中具有随机性的分形称为随机分形 可以将规则分形在构造过程中随机去掉某一部分来生成随机的分形图形 5.5 不规则分形 布朗运动 1817年，布朗在显微镜下发现悬浮花粉粒子在液体中无规则的运动 1916年，Perrin对布朗运动观察发现，间隔时间后，轨迹的曲线程度和前者相同，二者之间具有统计的自相似性 布朗运动估计的分维数D与其所处的欧氏空间维数d是无关的，但几何结构与其所处的空间维数d有着密切的关系 5.5 不规则分形 自回避随机行走 不允许一个格点被重复访问，当要走向已被占据的格点时放弃这一步，再由新的随机数决定走另一个方向——与随机行走（布朗运动）的区别 自回避随机行走在一维下无法进行，其模型维数上限是d=3，在四维以上空间自由度的增加使其不再起作用 5.5 不规则分形 凝聚现象的分形生长 自然界中的凝聚现象 DLA模型 粒子随机走动，遇到种子粒子，便粘在一起形成凝聚态，如此循环最后形成自相似的分形结构 5.6 分形的应用领域 海岸线与河流的分形 5.6 分形的应用领域 地震分形 5.6 分形的应用领域 矿藏分形 自然界中的矿藏分布具有统计上的自相似性 矿物平均含量C与其矿石吨位M存在统计关系 降水量的分维 气候变化在不同时间尺度上的具有自