有限元法基础赵维涛陈孝珍3平面问题的有限元课件教学.pptVIP

PPT研究院 POWERPOINT ACADEMY 式中： 式中的16个常数用8个节点的位移（ ， ）表示后，则上式为 3.3.1 等参元刚度矩阵 采用坐标变换可使母单元的八个节点坐标与等参元的八个节点坐标建立一一对应的关系，整体坐标和局部坐标的变换式为 式中： ——母单元的形函数。 可知，母单元上任意直边，例如2－3边，有ξ＝1，则有关的形函数N2、N3和N6均是η的二次函数，其余的形函数均为零。这样变换就成为二次非线性变换，它可将母单元的直边2－3映射成子单元的曲边2－3。根据等参元的思想，利用上述的形函数 ，可得等参元的位移模式为 3.3.1 等参元刚度矩阵 有了单元的位移模式，就可以利用平面问题的几何方程求出单元内任意点的应变，将上式代入式（2.12），得等参元的应变矩阵为 式中： ——i节点位移，（i=1，2，…，8）； 3.3.1 等参元刚度矩阵 ——单元几何矩阵，其中 为 （i=1，2，…，8） 在上式中， 是ξ、η的函数，因此必须用坐标变换式来转换导数关系，根据复合函数的求导法则，有 （i=1，2，…，8） 3.3.1 等参元刚度矩阵 式中的J称为雅可比（Jacobi）矩阵，为 则 3.3.1 等参元刚度矩阵 雅可比（Jacobi）矩阵的逆矩阵为 将单元应变代入平面问题的物理方程式，就得到平面八节点等参元的应力列阵，为 （i=1，2，…，8） 3.3.1 等参元刚度矩阵 等参元刚度矩阵仍可用式（3.30）计算，即 在上式中，应变矩阵为局部坐标系ξη下的显式，因此在计算上式时应将微面积dxdy变换成dξ和dη所包围的面积dA，由于 所以，有 3.3.1 等参元刚度矩阵 则等参元刚度矩阵为 应该指出，上式是对ξ和η的重积分，尽管其积分区域十分简单，但其被积函数却比较复杂，一般该积分没有显式，需要采用数值积分法求解。至于等参元的等效节点力的计算一般也要采用数值积分的方法求解，这里不再讨论，可参考相关书籍。 由以上分析可知，在划分单元时，只需确定单元节点的整体坐标值，而不必画出等参元的具体形状，因为在计算中实际使用的只有单元八个节点在整体坐标系下的位移值。等参元变换的条件为 ，因此在有限元网格划分时，要特别注意这一点。 3.3.1 等参元刚度矩阵 如图所示，在图b中3、4点退化为一个点，在该点 ，同理在图c中2、3点退化为一个点，在该点 ，在图d在点1、2、3处 0，在点4处 0，又因为 在单元内连续变换，所以单元内肯定存在 ＝0，这是由于单元过分歪曲造成的。 a）正常 b）不正常 c）不正常 d）不正常 3.3.1 等参元刚度矩阵 设有圆筒内径为10cm，外径为20cm，受内压120MPa作用，如图3.25所示，并以角速度 ＝2094rad/s绕中心轴转动。弹性模量为 ＝210GPa，泊松比 ＝0.3，计算该圆筒的径向位移。 根据问题的对称性，可以取夹角等于100的两个径向剖面从圆筒中划出一部分进行有限元分析。这里需要强调的是边界条件的处理：根据对称性，在y＝0的边界上y方向的位移为零，在另一条半径边界上，是它的法向位移为零，即所谓的“斜支撑”。 3.3.2 算例 表3.4 圆筒的径向位移（mm） 节点编号 3 5 8 10 13 15 18 20 23 25 28 有限元解 0.059001 0.054973 0.051734 0.049100 0.046943 0.045167 0.043700 0.042488 0.041489 0.040668 0.040000 解析解 0.059000 0.054973 0.051733 0.049100 0.046943 0.045167 0.043700 0.042488 0.041489 0.040688 0.040000 3.3.2 算例 3.4 平面单元应用比较分析 单元是有限元法的基本要素，单元的研究是有限元法的主要研究课题。计算一个具体的力学问题，选用什么单元好，这是一个相当复杂的问题，很难有一个完美的答案。因为，它不仅和力学问题本身的几何性质、物理性质有关，还和计算精度要求以及准备工作量等等有关。多年来，人们在大量的实践中积累了许多这方面的经验。本节仅就单元和单元选用等方面的问题，就已有的经验作些介绍。 低阶元与高阶元的划分方法有两种：一种是把有线性位移函数的单元称