高中数学题库A集合与简易逻辑集合.docVIP

集合A＝｛x｜x 2－ax＋a2－19＝0｝，B＝｛x｜x 2－5 x＋6＝0｝，C＝｛x｜x 2＋2 x－8＝0｝． 若AB＝AB，求a的值；若 AB，A＝，求a的值． 答案： 由已知，得B＝｛2，3｝，C＝｛2，－4｝. (1) AB＝AB， A＝B 于是2，3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，由韦达定理知： 解之得a＝5.(2)由AB ∩，又AC＝，得3A，2A，－4A，由3A， 得32－3a＋a2－19＝0，解得a＝5或a=－2 当a=5时，A＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝＝｛2，3｝，与2A矛盾；当a=－2时，A＝｛x｜x2＋2x－15＝0｝＝｛3，－5｝，符合题意. 来源：09年湖北宜昌月考一 题型：解答题，难度：中档已知：集合A={x|≤0}， B={x|x2－3x+20}，U=R， 求（1）A∪B； （2）（uA）∩B. 答案： A={x|≤0}={x|－5x≤} B={x|x2－3x+20}={x|1x2} （1）A∪B={x|－5x2} （2）（uA）={x|x≤－5或x} （uA）∩B={x|x2} 来源：09年湖北襄樊月考一 题型：解答题，难度：中档 已知全集，不等式的解集为，不等式的解集为．I）求，； （II）求． 答案： （Ⅰ）由 得.∴.　　　　　　　　　　　　　　 由.得 .∴.　　　　 （Ⅱ）∵，， ∴.　　∴.　　 来源：09年北京海淀月考一 题型：解答题，难度：容易 设，求证： （1）； （2）； （3）若，则 答案： （1）因为，且，所以 （2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以 （3）设，则 （因为）。 来源：08年数学竞赛专题一 题型：解答题，难度：较难 判断以下命题是否正确：设A，B是平面上两个点集，，若对任何，都有，则必有，证明你的结论。 答案： 不正确，取满足条件，但。 来源：08年数学竞赛专题一 题型：解答题，难度：中档 设集合，其中[a]表示不大于a的最大整数。求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得f(m，k)=n。 答案： 设集合∈P和正整数m，记 f(m，k)=，其中[a]表示不大于a的最大整数。求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得f(m，k)=n。 证明：定义集合A={|m∈N*，k∈P}，其中N*为正整数集。由于对任意k、i∈P且k≠i，是无理数，则对任意的k1、k2∈P和正整数m1、m2，当且仅当m1=m2，k1=k2。由于A是一个。下面确定n与m、k的关系。若，则。由m1是正整数可知，对i=1，2，3，4，5，满足这个条件的m1的个数为。从而n==f(m，k)。因此对任意n∈N*，存在m∈N*，k∈P，使得f(m，k)=n。 来源：07年全国高中数学竞赛 题型：解答题，难度：较难 已知集合，问：当取何值时，为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？ 因为（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），而A∩C，B∩C分别为方程组①②（Ⅰ）与 ③④ （Ⅱ）的解集。 在（Ⅰ）中将①代入②消去y得（1-ax）2+x2=1. 即（a2+1）x2-2ax=0， 所以x=0或x=。 当x=0时y=1，当x=时，y= 所以（Ⅰ）的解集为 在（Ⅱ）中将③代入④解（Ⅱ）得 （1）若（A∪B）∩C含有2个元素，因为（0，1），（1，0）（A∪B）∩C， 所以（A∪B）∩C中只含有这两个元素，从而 或。 解得a=0或a=1。 故当a=0或a=1时，（A∪B）∩C恰有2个元素。 （2）若（A∪B）∩C含有3个元素，由（1）知只有， 即a2+2a-1=0. 所以a= 已知，又C为单元素集合，求实数的取值范围。 答案： ⅰ）若，则由； ⅱ）若，由得或； 所以当且仅当时，C为单元素集。 所以的取值范围是。 来源：08年数学竞赛专题一 题型：解答题，难度：中档 对于整数，求出最小的整数，使得对于任何正整数，集合的任一个元子集中，均有至少3个两两互质的元素。 个，记为g(n)，其中任意3个中必有2个不互质，所以f(n)g(n)。 引理：当m为奇数时，从{m, m+1, m+2, m+3, m+4}中任意取出4个元素，必有3个两两互质。 只需分m=6k+1, 6k+3, 6k+5三类讨论即可。 下面证明，当f(n)=g(n)+1时，题设条件成立。 用反证法，若不然，对于给定的S，因为m, m+1中必有1个奇数，从这个奇数开始，连续6个整数为一组，设n=6k+r, 1≤r≤6. （1）若r