简单的三角恒变等换—教案.docVIP

简单的三角恒等变换 第二十四中学 王珏 一．教学目标 1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。 2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。 3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 二、教学重点与难点 教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，推导半角公式、积化和差、和差化积公式。 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。 三、教学过程 1、复习公式： 公式变形： ←——→ ←——→ 2、例1：试以表示． 【设计意图】：在熟练掌握倍角公式的基础上，理解角的倍、半间的相对性，提高学生的公式变换能力，培养学生运用方程思想、换元思想解决数学问题的能力。 【师生活动】：教师——出示问题，让学生自主探究，教师重在引导学生分析角的倍、半间的关系。并注意从一般思路引导：要用一个表示另一个，如果能找到它们之间的一个关系式，那么根据方程思想，问题差不多就可以得到解决了。 师生——教师重点提出的倍角，是什么关系？——的倍角。 进一步引导学生从之间的关系出发思考的关系，从而建立这两个三角式之间的关系： ，由此利用方程思想即可解出想要的关系。 教师——也可从代换的角度直接从倍角公式出发变形得到： 在倍角公式中以，，然后进行变形，即刻得到用的结论，利用同角三角函数间的关系求得。 解：由 ，可以得到； 由 ，可以得到． 所以． 总结：掌握各个公式的推导过程，是理解和运用公式的首要环节，熟练地运用公式进行升幂和降幂。 3、思考：（1）已知，如何求 （2）代数式变换与三角变换有什么不同呢？ 【设计意图】：思考（1）重点培养学生的灵活运用公式的能力，从而引入半角公式，增强学生对三角公式的进一步理解；思考（2）主要引导学生对“所包含的角，以及这些角的三角函数种类的差异”对三角变换的影响进行认识，从而使学生更好地把握三角恒等变换的特点。 【师生活动】：教师——提出问题，进行巡视 学生——自主思考，写出结论 ；； 教师——上述公式称为半角公式，让学生思考“”如何选取？ 学生——自主探究，相互交流。 教师——进行总结，“”号由所在象限决定。 师生——对第二个问题的思考，通过师生共同分析得出：代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换；对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。 4、变式训练： 求证：（教科书P142练习第1题） 【设计意图】：变式训练给出了的关系式，是对例1结论的进一步理解和延伸。 【师生活动】：师生——安排学生黑板板书，其他学生自主探究，根据解题情况共同点评，总结规律。 解：方法一： 方法二： 5、例2：求证： （１）、； （２）、． 【设计意图】：本例引出的和差化积和积化和差公式，有其结构上的同构特点，反映了角的三角函数与角的三角函数间的内在联系。另外，两式之间又反映了由角建立的转换关系，这体现了数学上的对应转换即映射反演的思想方法。 【师生活动】：教师——出示题目，让学生自主探究。 学生——自主分析，对于（1）式可能得出如下问题思路：从等式左式不好下手，但从右式出发容易变形，利用和（差）的正弦公式展开、合并，从而得出左式。 教师——对学生的上述思路给予充分的肯定，这是证明三角恒等式的基本方法，引导学生进一步思考其他方法：哪些公式中包含呢？ 学生——在和（差）角的正弦公式中，涉及式。 师生——在和（差）角的正弦公式中，把作为未知数，，通过解二元一次方程组，即可得到结果。 教师——进行总结：①此结论证明运用了方程（组）思想。②分析式子左右两边的特点可以看出，左边是积的形式，右边是和、差的形式，所以习惯上称此公式为积化和差公式，类似地可以求出。接着提出如何证明（2）式？ 学生——从右式出发变形，利用