1-2行列式讲述.ppt

上页 下页 结束 返回 首页 上页 下页 结束 返回 首页 §1.2 行列式 二、行列式的定义 一、二元线性方程组与二阶行列式 三、行列式的性质 四、行列式值的计算 五、行列式乘法定理 用消元法解二元线性方程组 一、二元线性方程组与二阶行列式 ① ② ①?a22 - ②?a12 消去 x2 得 ②?a11 - ①?a21 消去 x1 得 当 a11a22 - a12a21 ? 0 时, 方程组的解为 二阶行列式 对二元线性方程组 记 —— Cramer 法则 方程组的解为 当系数行列式 D ? 0 时, 三阶行列式 二、行列式的定义 对 3 阶矩阵 A = (aij), 把删去第 i 行及第 j 列后所得的 2 阶行列式称为元素 aij 的余子式, 记为 Mij. 称 (-1)i+j Mij 为元素 aij 的代数余子式, 记为 Aij . 对 3 阶矩阵 A = (aij), 记其相应的行列式为| A|, 则有 (按第 j 列展开) (按第 i 行展开) 对 3 阶矩阵 A = (aij), 把删去第 i 行及第 j 列后所得的 2 阶行列式称为元素 aij 的余子式, 记为 Mij. 称 (-1)i+j Mij 为元素 aij 的代数余子式, 记为 Aij . 对 3 阶矩阵 A = (aij), 记其相应的行列式为| A|, 则有 验证按第2,3行及第1列展开: (按第 j 列展开) (按第 i 行展开) 例1 解关于变量 l 的方程 对角线法则 解 原方程的解为 行列式的归纳定义 称 (-1)i+j Mij 为元素 aij 的代数余子式, 记为 Aij . 假设 n-1 阶行列式已定义, 对 n 阶矩阵 A=(aij), 把删去第 i 行及第 j 列后所得的 n-1 阶行列式称为元素 aij 的余子式, 记为 Mij. n 阶方阵 A 的行列式记为det A(或| A|), 定义为 n 阶行列式 det A 完全展开成一个和式, 共有 n! 项, 每一项由 A 中不同行不同列的 n 个元素的乘积构成, 带有确定的正负号. Laplace [按行列展开]定理 行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余 子式乘积之和. 即 例2 计算 n 阶上三角行列式 解 例3 计算 n 阶行列式 Laplace [按行列展开]定理 行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余 子式乘积之和. 即 解 三、行列式的性质 性质1 行列式 det A 与它的转置行列式 det AT 相等. 注: 由该性质可知, 以下对行而言的性质, 对列也成立. 性质2 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到 行列式记号的外面. 例如: 推论2 对 n 阶矩阵 A, 有 det (kA) = kn det A. 性质3 若行列式某一行的元素都是两数之和, 则该行 拆开, 原行列式可以表为相应的两个行列式之和. 推论1 有一行元素全为零的行列式值为零. 性质4 对换两行, 行列式值反号. 证明* 对换相邻两行. 设对换D = det(aij)n 的r, r +1行而得D1. 记 D 的余子式为 Mij , 则 D1 的 r +1 行及其余子式分别为 D 的 r 行及其余子式. 由Laplace 定理, D1 按第 r +1 行展开, 而 D 按第 r 行展开, 得 对换任意两行. 设对换 D 的 r, r + k 行得 D1. 不难看出, D 可经过 2k -1 次对换相邻两行而得 D1. 于是 提示: 行号 性质4 对换两行, 行列式值反号. 推论1 有两行全同的行列式, 其值为零. 推论2 若有两行元素对应成比例, 则行列式值为零. 性质5 把行列式某一行的各元素乘以同一数, 然后加到 另一行对应的元素上去, 行列式的值不变. 例如 性质 证明 左式 例4 证明 性质 = 右式 证明 左式 例5 证明 性质 四、行列式值的计算 (2) 利用 Laplace 定理的降阶法. (1) 化为上(下)三角形行列式的所谓化三角形法; 行列式的计算基本过程就是利用性质逐步简化行 列式的结构. 为了便于检查, 引进以下记号: 用 ri ? rj 表示对换第 i, j 行; 用 kri 表示第 i 行乘以非零数 k； 用 rj +kri 表示把第 i 行的 k 倍加到第 j 行. 用 ci 表示第 i 列, 有相仿的记号